Ktl-icon-tai-lieu

Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm

Được đăng lên bởi luan-van
Số trang: 3 trang   |   Lượt xem: 3607 lần   |   Lượt tải: 1 lần
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên
Ngày 19 tháng 11 năm 2004

Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm
Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong
Nhóm
Để kiểm tra một nhóm cho trước là cyclic, thông thường ta áp dụng định nghĩa về nhóm cyclic.
Ta nhắc lại định nghĩa đó:
Định nghĩa 1 Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ X và X = a ,
tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a, bao gồm tất cả các lũy thừa nguyên của a.
Vậy :X = a = {an : n ∈ Z}
Như vậy, để chứng minh nhóm X là cyclic, theo định nghĩa 1, ta bắt buộc phải chỉ ra cho được
một phần tử sinh a ∈ X, đồng thời phải chứng minh rằng bất kỳ phần tử x ∈ X đều viết được
dưới dạng một lũy thừa nguyên của a.
Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic, X = a . Chứng minh rằng mọi nhóm con A ⊂n X đều là
nhóm cyclic.
Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = e .
n X = {an : n ∈ Z}, ắt tồn tại một lũy thừa ak = e mà ak ∈ A,
Trường hợp A = {e}, do A ⊂
và khi đó a−k ∈ A do A là nhóm con. Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào
A (hoặc ak , hoặc a−k ).
Đặt m = min{k > 0 : ak ∈ A}, ta chứng minh A = am . Thật vậy, với mọi x ∈ A thì
x = ak với k = q.m+r(0 ≤ r < m), và từ ak = aq.m+r = (am )q .ar ta suy ra: ar = ak . (am )−q ∈ A
do ak , am ∈ A. Bởi điều kiện 0 ≤ r < m và m là một số nguyên dương bé nhất để am ∈ A,
buộc r = 0. Tức là k = q.m hay x = ak = (am )q . Vậy A là nhóm cyclic.
Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am ∈ A, ta
căn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu am là phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak ∈ A
tất phải có ak = (am )q , tức k = m.q từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước của
mọi số k mà ak ∈ A.
1

Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1. Chứng minh A với phép nhân thông
thường các số phức là một nhón cyclic.
Phân tích ban đầu: Vì A ⊂ (C ∗ , ·) nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của (C ∗ , ·)
bằng cách tìm một phần tử a ∈ C ∗ mà A = a , và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic.
Bài giải Ta biểu diễn A =

cos

2kπ
2kπ
+ i sin
:k∈Z
n
n
k

2π
2π
+ i sin
:k∈Z
n
n
2π
2π
+ i sin
∈ C ∗ tức là A là nhóm cyclic
Vậy: A = a với a = cos
n
n
hay A =

cos

Nhận xét Việc chứng minh A là nhóm cyclic buộc ta phải lựa chọn cách biểu diễn các phần
tử của A dưới dạng cụ thể, để từ đó có thể nhận ra được phần tử sinh của A.
Liên quan đến các nhóm cyclic là khái niệm cấp của phần tử trong nhóm.
Định nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X. Cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinh
bởi phần tử a
(cấp c...
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS Trần Huyên
Ngày 19 tháng 11 năm 2004
Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm
Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong
Nhóm
Để kiểm tra một nhóm cho trước cyclic, thông thường ta áp dụng định nghĩa v nhóm cyclic.
Ta nhắc lại định nghĩa đó:
Định nghĩa 1 Nhóm X được gọi nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử a X X = a,
tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a, bao gồm tất c các lũy thừa nguyên của a.
Vậy :X = a = {a
n
: n Z}
Như vy, để chứng minh nhóm X cyclic, theo định nghĩa 1, ta bắt buộc phải chỉ ra cho được
một phần tử sinh a X, đồng thời phải chứng minh rằng bất kỳ phần tử x X đều viết được
dưới dạ ng một lũy thừa nguyên của a.
dụ 1 Cho X nhóm cyclic, X = a. Chứng minh rằng mọi nhóm con A
n
X đều
nhóm cyclic.
Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = e.
Trường hợp A = {e}, do A
n
X = {a
n
: n Z}, ắt tồn tại một lũy thừa a
k
= e a
k
A,
và khi đó a
k
A do A nhóm con. Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào
A (hoặ c a
k
, ho ặc a
k
).
Đặt m = min{k > 0 : a
k
A}, ta chứng minh A = a
m
. Thật vy, với mọi x A thì
x = a
k
với k = q.m+r(0 r < m), và từ a
k
= a
q.m+r
= (a
m
)
q
.a
r
ta suy ra: a
r
= a
k
. (a
m
)
q
A
do a
k
, a
m
A. Bởi điều kiện 0 r < m và m một số nguyên dương bé nhất để a
m
A,
buộc r = 0. Tức k = q.m hay x = a
k
= (a
m
)
q
. Vy A nhóm cyclic.
Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A lũy thừa nguyên dươ ng bé nhất a
m
A, ta
căn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu a
m
phần tử sinh của A thì mọi phần tử a
k
A
tất phải a
k
= (a
m
)
q
, tức k = m.q từ đó thể thấy m phải số bé nhất bởi ước của
mọi s ố k a
k
A.
1
Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm - Trang 2
Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm - Người đăng: luan-van
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
3 Vietnamese
Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm 9 10 731