Ktl-icon-tai-lieu

bài tập tích phân đường loại 2

Được đăng lên bởi thanhlocstudent
Số trang: 3 trang   |   Lượt xem: 993 lần   |   Lượt tải: 0 lần
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI 2
TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Tích phân ñường loại 2 (theo tọa ñộ) có dạng:

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
L

Nếu ñổi hướng lấy tích phân thì tích phân ñường ñổi dấu

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
AB

BA

Nếu ñường cong L chia thành 2 ñường cong L1,L2 không trùng lấp nhau thì:

∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L

L1

L2

Nếu L là ñường cong kín, (là biên của miền D) ñược ñịnh hướng dương thì chiều lấy tích
phân là chiều mà 1 ñiểm chuyển ñộng trên biên sao cho miền D luôn nằm bên trái
Cách tính:
1. Chuyển về tích phân 1 biến:
(AB) có pttq: y = f(x) thì :
xB

∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x, f ( x)) + Q( x, f ( x)). f '( x)] dx
AB

xA

(AB) có pttq: x = g(y) thì :
yB

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( g ( y), y).g '( y) + Q( g ( y ), y )] dy
AB

yA

(AB) có phương trình tham số: x = x(t), y = y(t). Tại A, ứng với tA và tại B, ứng với
tB thì:
tB

∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x(t ), y (t )).x '(t ) + Q( x(t ), y(t )). y '(t )] dt
AB

tA

2. Sử dụng công thức Green:
Nếu L là ñường cong kín lấy theo hướng dương (có thể bổ sung thành ñường cong
kín) là biên của miền D. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục
∀(x, y) ∈ D. Khi ñó, ta có:

Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM

∫
L

 ∂Q ∂P 
−
Pdx + Qdy = ∫∫ 
 dxdy
∂
x
∂
y

D 

Tích phân ñường không phụ thuộc ñường lấy tích phân (ðịnh lý 4 mệnh ñề tương ñương):
Các hàm P(x,y), Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên 1 miền D
nào ñó. Khi ñó ta có các mệnh ñề sau tương ñương:
1.

∂Q ∂P
=
, ∀( x, y ) ∈ D
∂x ∂y

2. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm số:
x

y

x0

y0

U ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy , với (x0; y0) bất kỳ thuộc D.
3.

∫ Pdx + Qdy = 0 , với mọi ñường cong kín L trong D
L

4.

∫ Pdx + Qdy , (AB) là 1 cung nằm trong D, không phụ thuộc ñường ñi mà chỉ phụ
AB

thuộc ñiểm ñầu, ñiểm cuối.
BÀI TẬP
1.

Cho J = ∫ − y 2 dx + x 2 dy .
L

a. Tính J khi L là ñoạn thẳng từ A(0; 1) ñến B(1; 2)

ð/S: -2

b. Tính J khi L gồm 1/8 cung tròn x2 + y2 = 2 ñi từ A ( 2 ; 0) ñến B(1; 1) và cung
parabol 2y2 = x + 1 ñi từ B ñến C(-1; 0)
2.

Tính

∫
C

3.

ð/S:

8 + 20 2
15

( x + y )dx − ( x − y )dy
, lấy dọc ñường tròn x2 + y2 = a2, ngược chiều kim ñồng hồ.
2
2
x +y

Tính tích phân: J =

∫e

xy

 y 2 dx + (1 + xy )dy  + xdy trong ñó AB là nửa cung tròn

AB

x = 2 y − y 2 từ A(0; 0) ñến B(0; 2)

ð/S:

Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trườ...
Bài tp Gii tích 3 – T b môn Toán – Lý , Khoa Vt Lý, trường ðHSP TPHCM
BÀI TP TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOI 2
TÓM TT LÝ THUYT:
Tích phân ñường loi 2 (theo ta ñ) có dng:
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy
+
Nếu ñổi hướng ly tích phân thì tích phân ñường ñi du
( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy
+
=
( , ) ( , )
BA
P x y dx Q x y dy
+
Nếu ñường cong L chia thành 2 ñưng cong L
1
,L
2
không trùng lp nhau thì:
1 2
L L L
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
+ = + + +
Nếu L ñường cong kín, (là biên ca min D) ñược ñịnh hướng dương thì chiu ly tích
phân là chiu mà 1 ñim chuyn ñộng trên biên sao cho min D luôn nm bên trái
Cách tính:
1. Chuyn vch phân 1 biến:
(AB) có pttq: y = f(x) thì :
[ ]
( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )). '( )
B
A
x
AB x
P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx
+ = +
(AB) có pttq: x = g(y) thì :
[ ]
( , ) ( , ) ( ( ), ). '( ) ( ( ), )
B
A
y
AB y
P x y dx Q x y dy P g y y g y Q g y y dy
+ = +
(AB) phương trình tham s: x = x(t), y = y(t). Ti A, ng vi t
A
ti B, ng vi
t
B
thì:
[ ]
( , ) ( , ) ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )
B
A
t
AB t
+ = +
2. S dng công thc Green:
Nếu L ñường cong kín ly theo hướng dương (có th b sung thành ñưng cong
kín) biên ca min D. Các m P(x,y) Q(x,y) c hàm ñạo hàm riêng cp 1 liên tc
(x, y)
D. Khi ñó, ta có:
bài tập tích phân đường loại 2 - Trang 2
bài tập tích phân đường loại 2 - Người đăng: thanhlocstudent
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
3 Vietnamese
bài tập tích phân đường loại 2 9 10 972