Ktl-icon-tai-lieu

Chọn điểm rơi

Được đăng lên bởi Phan Anh Phú
Số trang: 10 trang   |   Lượt xem: 843 lần   |   Lượt tải: 0 lần
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
 a, b > 0
1
1
+
Bài toán 1. Cho 
, tìm GTNN của P = 2
2
2ab
a +b
a + b ≤ 1
Giải
1
1
4
4
+
≥ 2
=
≥4
Ta có: 2
2
2
2ab a + 2ab + b
a +b
(a + b)2
1

a
=

a = b
2 ⇒ MinP = 4 khi x = y = 1
⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
2
a + b = 1 b = 1

2
 a, b > 0
1
1
+
Bài toán 2. Cho 
, tìm GTNN của P =
1 + a 2 + b2 2ab
a + b ≤ 1
Giải
1
1
4
4
4
+
≥
=
≥
=2
Lời giải 1. Ta có: P =
1 + a 2 + b 2 2ab a 2 + 2ab + b 2 + 1 (a + b)2 + 1 2
1 + a 2 + b 2 = 2ab
(a − b)2 + 1 = 0
⇔
(voâ nghieäm) . Vậy không tồn tại
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
a + b = 1
a + b = 1
MinP...?..?
Lời giải 2. Ta có:
1
1
1
4
1
4
1
P=
+
+
≥
+
=
+
1 + a 2 + b 2 6ab 3ab a 2 + 6ab + b 2 + 1 3ab (a + b)2 + 1 + 4ab 3ab
4
1
8
2
P
≥
+
≥
a
+
b
1


2
2
3
Mặt khác ab ≤ 
 a+b
a+b
÷ = . Vậy
2+
4
 2 
÷ 6
÷
 2 
 2 
1 + a 2 + b 2 = 3ab

1
⇔a=b= .
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
2
a + b = 1

Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
1 1
4
1
1
1
+ ≥
=
+
. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
?..? Làm sao
a b a+b
2ab 6ab 3ab
nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua
chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài
toán cực trị
II.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một
trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…
và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại
học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số
bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số
sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu
sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”.
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa: a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0
a ≥ b
⇒a≥c
• 
b ≥ c
• a ≥b ⇔ a+c ≥b+c
a ≥ b
⇒a+c ≥b+d
• 
c ≥ d

1 1
≤
a b
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy
n
a1 , a2 ,..., an (n ≥ 2)
Cho
số
thực không âm
ta
luôn có
a1 + a2 + L + an n
≥ a1a2 ...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = L = an .
n
• Một vài hệ quả quan trọng:
1 1
1 
2
+ (a1 + a2 + L + an )  + + L + ÷ ≥ n vô...
Dấu “=’ xảy ra
1 2
1 2
n
n
aa a
b b b
= = =L
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
1 2
( , ,..., )
n
f x x x
là một hàm
n
biến thực trên
: :
n n
D f D ¡ ¡ ¡
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Max
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x M x x x D
f M
x x x D f x x x M
=
=
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Min
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x m x x x D
f m
x x x D f x x x M
=
=
3. Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trongc đ thi đại học thông thường là đối xứng với các biến,
ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1. Cho
, 0
1
a b
a b
>
+
, tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
4P ab
ab
a b
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
= + + + + + = + +
÷
+ + + +
.
Mặt khác
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
+ =
. Vậy
4 2 2P +
nên
2(2 2)MinP = +
Sai lầm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
( )
P ab ab
ab ab ab ab ab ab ab
a b a b
= + + + + + + + = +
÷
+ +
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
+ =
= = =
+ =
. Thay
1
2
a b= =
vào ta được
7P
7MinP =
khi
1
2
a b= =
.
Nguyên nhân sai lầm:
Chọn điểm rơi - Trang 4
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Nếu xem trực tuyến bị lỗi, bạn có thể tải về máy để xem.

In_giao
In tài liệu
Chọn điểm rơi - Người đăng: Phan Anh Phú
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
10 Vietnamese
Chọn điểm rơi 9 10 978