Ktl-icon-tai-lieu

Chuyên đề bất đẳng thức & cực trị

Được đăng lên bởi anonyvietnam
Số trang: 15 trang   |   Lượt xem: 3484 lần   |   Lượt tải: 0 lần
.tl

age
ac.p

ais

/l
ttp:/
h

I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:
a1 ; a2 ;...an ( n ³ 2) ta luôn có:

a1 + a2 + ... + an n
³ a1a2 ...an ( I ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
n
a1 = a2 = ... = an .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( a1 ; a2 ;...an ),(b1 ; b2 ;...bn ) ta luôn có:
2
2
2
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 £ ( a12 + a2 + ... + an )(b12 + b22 + ... + bn )( II ) ; dấu bằng

xảy ra khi và chỉ

a
a1 a2
=
= ... = n . BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu bằng xảy ra
b1 b2
bn
khi a = b = c.
1 1
1
n2
BĐT:
( IV ) ; trong đó a1 , a2 ,...an là các số
+ + ... + ³
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an
Khi:

dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.

Bài 1: Cho a > b > 0 . Chứng minh:
1
4
1
a/a +
³ 3; b / a +
³ 3; c / a +
³ 2 2.
2
b( a - b)
(a - b)(b + 1)
b( a - b) 2
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) +

1
1
³ 3 3 b.(a - b).
=3
b( a - b)
b( a - b)

(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi b = 1; a = 2.

Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: a b - 1 + b a - 1 £ ab.
1

Giải: Theo BĐT (I) ta có: a b - 1 = a (b - 1).1 £ a.
cũng có:

b a -1 £

(b - 1) + 1 ab
; tương tự ta
=
2
2

ab
. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra
2

khi a = b = 2.
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:
ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 .

(1 - a ) + (1 - b) + (1 - c) 2
=
3
3
Û 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 (đpcm). Dấu

Giải: Theo BĐT (I) ta có:

3

(1 - a )(1 - b)(1 - c) £

bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh:

a 3 + b3 + c 3 ³ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab .

( )

Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a + b + c ³ 6 6 a
3

3

3

3 4

b3c 3 = 6a 2 bc ; tương tự ta

cũng có:

4b3 + c 3 + a 3 ³ 6b 2 ca ;4c 3 + a 3 + b3 ³ 6c 2 ab cộng các vế của các BĐT này lại
rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: ( x + y + z )6 / xy 2 z 3 ³ 432 .

Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức P = ( x + y )9 / x 3 y 6 trong đó x,y là các số dương.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:

( x + y )9
99
39
x
y
æxö æ yö
9
x + y = 3. + 6. ³ 9. ç ÷ ç ÷ Û P = 3 6 ³ 3 6 = 6
3
6
36
2
x y
è3ø è6ø
9
6
Vậy GTNN của P bằng 3 / 2 khi y = 2x.
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a 6 + b6 + c 6 = 3 . Hãy tìm GTLN của
2
2
2
biểu thức S = a + b + c
3

6

Giải: Theo BĐT (I) ta có:

a 6 + 1 + 1 ³ 3a 2 ; b 6 + 1 + 1 ³ 3b 2 ; c 6 + 1 + 1 ³ 3c 2 Þ 9 ³ 3S Û 3 ³ S
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c ...
1
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:
1 2
; ;... ( 2)
n
a a a n
³
ta luôn có:
1 2
1 2
...
... ( )
n
n
n
a a a
a a a I
n
+ + +
³
; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
...
n
a a a= = = .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì
1 2 1 2
( ; ;... ),( ; ;... )
n n
a a a b b b ta luôn có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b II
+ + + £ + + + + + + ; d
ấu bằng
x
ảy ra khi v
à ch
Khi:
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
= = = . BĐT:
2 2 2
( )
a b c ab bc ca III
+ + ³ + +
; dấu bằng xảy ra
khi
.
a b c
= =
BĐT:
2
1 2 1 2
1 1 1
... ( )
...
n n
n
IV
a a a a a a
+ + + ³
+ + +
; trong đó
1 2
, ,...
n
a a a là các s
dương; dấu bằng xảy ra khi và ch khi các số này bằng nhau.
Bài 1: Cho
0
a b
> >
. Chứng minh:
2 2
1 4 1
/ 3; / 3; / 2 2.
( ) ( )( 1) ( )
a a b a c a
b a b a b b b a b
+ ³ + ³ + ³
- - + -
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có:
3
1 1
( ) 3 .( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
+ - + ³ - =
- -
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi
1; 2.b a= =
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh:
1 1 .a b b a ab- + - £
http://laisac.page.tl
Chuyên đề bất đẳng thức & cực trị - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Chuyên đề bất đẳng thức & cực trị - Người đăng: anonyvietnam
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
15 Vietnamese
Chuyên đề bất đẳng thức & cực trị 9 10 60