Ktl-icon-tai-lieu

Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân

Được đăng lên bởi vantannguyen1556
Số trang: 2 trang   |   Lượt xem: 1209 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân
NGUYÊN HÀM
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của
các hàm số cơ bản).
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt



Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1
nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau
thì có thể đổi biến như sau:
2

a −x

2

a2 + x2 ;

;

1
2
2
a −x

1
2
a + x2

thì đặt x = asint

thì đặt x = atant.

Chú ý:
1/. Phương pháp biến đổi:
-Tích thành tổng.
-Thương thành tổng.
-Căn thức thành lũy thừa.
Lưu ý: Sử dụng phép nhân, phép chia đa thức, công thức
lượng giác…
2/. Cách đặt u trong phương pháp đổi biến là:
-Hàm số chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì đặt u là phần
bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất.
-Hàm số chứa mẫu thì đặt u là mẫu số.
-Hàm số chứa căn thì đặt u là phần bên trong căn thức.

1
thì đặt u = ln x .
x
x
x
-Hàm số có chứa e thì đặt u = e .
-Hàm số có chứa

-Hàm số có chứa 1 thì đặt u =
x

x.

1
1
thì đặt u = .
2
x
x
-Hàm số có chứa cos x thì đặt u = sin x .
-Hàm số có chứa sin x thì đặt u = cos x .
-Hàm số có chứa

1
-Hàm số có chứa
thì đặt u = tan x .
cos 2 x
-Hàm số có chứa 1 thì đặt u = cot x
sin 2 x
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx

Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

sin ax 

@ Dạng 1

∫ f ( x ) cosax dx
 ax 
e 

với f(x) là đa thức:

u = f ( x )
du = f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 
Đặt:
⇒

dv = cos ax  dx
v = ∫ cosax  dx


 ax 
 ax 


e

e 
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
@ Dạng 2:

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

Trang 1
@ Dạng 3: ∫ e ax . sin ax dx



cosax 

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số
dạng cơ bản).

Dạng 1:

∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.

Dạng 2:

∫ sin (u(x)).cos
n

m

(u(x))dx (n,m là các số nguyên dương)

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x)).
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x)).
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung
tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số
còn lại là số chẵn thì ta c...
Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân Trang 1
NGUYÊN HÀM
Bài toán 1: Tìm nguyên m cơ bn (da vào bng nguyên hàm ca
các hàm s cơ bn).
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bng phương pháp đổi biến s.
Dng 1: Tính I =
f[u(x)].u '(x)dx
bng cách đt t = u(x)
Đặt t = u(x)
dt u'(x)dx
=
I =
f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt
=
Dng 2: Tính I =
f (x)dx
Nếu không nh được theo dng 1
nhưng trong tích phân cha mt trong s các hàm biu thc sau
thì có th đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Chú ý:
1/. Phương pháp biến đổi:
-Tích thành tng.
-Thương thành tng.
-Căn thc thành lũy tha.
Lưu ý: S dng phép nhân, phép chia đa thc, công thc
lượng giác…
2/. Cách đặt u trong phương pháp đổi biến là:
-Hàm s cha du ngoc kèm theo lũy tha thì đặt u là phn
bên trong du ngoc nào có lũy tha cao nht.
-Hàm s cha mu thì đặt u là mu s.
-Hàm s cha căn thì đặt u là phn bên trong căn thc.
-Hàm s có cha
thì đặt
ln
u x
=
.
-Hàm s có cha
x
e
thì đặt
x
u e
=
.
-Hàm s có cha
1
x
thì đặ
t
u x
=
.
-Hàm s
có ch
a
2
1
x
thì
đặ
t
u
=
.
-Hàm s
có ch
a
cos
x
thì
đặ
t
sin
u x
=
.
-Hàm s
có ch
a
sin
x
thì
đặ
t
cos
u x
=
.
-Hàm s
có ch
a
2
1
os
c x
thì
đặ
t
tan
u x
=
.
-Hàm s
có ch
a
2
1
sin
x
thì
đặ
t
cot
u x
=
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bng phương pháp tng phn:
N
ế
u u(x) , v(x) là hai hàm s
đạ
o hàm liên t
c trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
=
Hay
udv uv vdu
=
( v
i du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân
ch c m sdễ phát hin u dv
@
Dạng 1
sin
( )
ax
f x cosax dx
ax
e
v
i f(x)
đ
a th
c:
Đặ
t:
( ) '( )
sin sin
cos
= =
= =
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau
đ
ó thay vào công th
c
udv uv vdu
=
để
tính
@
Dạng 2:
( ) ln( )
+
f x ax b dx
Đặ
t
.
ln( )
( )
( )
= +
=
+
=
=
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau
đ
ó thay vào công th
c
udv uv vdu
=
để
tính
@
Dạng 3:
sin
.
ax
ax
e dx
cosax
Ta th
c hi
n t
ng ph
n hai l
n v
i u = e
ax
Bài toán 4: m nguyên m ca các hàm s lượng giác (mt s
dng cơ bn).
Dng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
cos(ax+b).cos(cx+d)dx
.
* Th
c hi
n công th
c bi
ế
n
đổ
i tích thành t
ng r
i tính tích phân.
Dng 2:
n m
sin (u(x)).cos (u(x))dx
(n,m là các s
nguyên d
ươ
ng)
*) N
ế
u n l
, m ch
n thì
đặ
t t = cos(u(x)).
*) n
ế
u m l
, n ch
n thì
đặ
t t = sin(u(x)).
*) N
ế
u n,m
đề
u ch
n thì : Dùng công th
c nhân
đ
ôi sau
đ
ó dung
ti
ế
p công th
c h
b
c
để
tính. (n
ế
u m
t trong 2 s
n ho
c n = 0 s
còn l
i là s
ch
n thì ta ch
dung công th
c h
b
c).
*) n,m
Z n
ế
u n+m là s
nguyên ch
n thì có th
:
Đặ
t t = tan(u(x)) ho
c t = cot(u(x)).
Dng 3:
R(sinx,cosx)dx
,R là hàm s
h
u t
. (m
r
ng thi
đạ
i h
c).
*) N
ế
u R(sinx, cosx) l
đố
i v
i sinx t
c R(
sinx, cosx) =
R(sinx,
cosx) thì ta
đặ
t t = cosx.
*) N
ế
u R(sinx, cosx) l
đố
i v
i cosx t
c là R(sinx,
cosx) =
R(sinx,
cosx) thì ta
đặ
t t = sinx.
*) N
ế
u R(sinx, cosx) ch
n
đố
i v
i sinx và cosx t
c là
R(
sinx,
cosx) = R(sinx, cosx) thì ta
đặ
t t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm ca các hàm s hu t
Yêu c
u tính
f(x)
dx
g(x)
trong
đ
ó f(x), g(x) là các
đ
a th
c theo x.
T/h 1
: B
c c
a f(x)
B
c c
a g(x) thì th
c hi
n phép chia
đ
a th
c
f(x) cho g(x) ta d
n
đế
n:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong
đ
ó h(x) (th
ươ
ng
c
a phép chia) m
t
đ
a th
c còn r(x) (ph
n d
ư
c
a phép chia)
m
t
đ
a th
c có b
c nh
h
ơ
n b
c c
a g(x).
Nên
f(x) r(x)
( )dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
= +
. Nh
ư
v
y
h(x)dx
ta tích
đượ
c b
ng b
ng nguyên hàm v
y ta ch
còn ph
i tính
r(x)
dx
g(x)
theo tr
ườ
ng h
p sau.
T/h 2:
tính
r(x)
dx
g(x)
v
i b
c r(x) nh
h
ơ
n b
c g(x).
*) Phân tích m
u s
g(x) thành tích c
a các nh
th
c.
*) Dùng cách
đồ
ng nh
t th
c nh
ư
sau: ch
n h
n:
2 2
1 2
1 2 2
r(x) r(x) A B C
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
= = + +
α
(*)
( x
1
; x
2
nghi
m c
a g(x).
*) ta quy
đồ
ng b
m
u ta
đượ
c bi
u th
c (**) r
i sau
đ
ó cho các
giá tr
c
a x vào bi
u th
c (**)
để
tìm các h
s
A,B,C ( thông
th
ườ
ng n cho x b
ng các nghi
m c
a g(x)
để
tìm các h
s
đượ
c
d
dàng).
*) sau
đ
ó thay vào bi
u th
c d
ướ
i d
u tích phân
để
tính.
Lưu ý:
t
trình
độ
THPT chúng ta th
ườ
ng g
p ph
i g(x) phân
tích v
thành tích c
a các nh
th
c.
TÍCH PHÂN
Bài toán 1:
Tính tích phân b
ng cách s
d
ng tính ch
t nguyên
hàm c
ơ
b
n.
Bài toán 2:
Tính tích phân b
ng ph
ươ
ng pháp
đổ
i bi
ế
n s
.
Dng 1:
Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
b
ng cách
đặ
t t = u(x)
Đặ
t t = u(x)
dt u'(x)dx
=
Đổ
i c
n x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân - Trang 2
Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân - Người đăng: vantannguyen1556
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
2 Vietnamese
Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân 9 10 543