Ktl-icon-tai-lieu

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẦN THƠ 20122013

Được đăng lên bởi tungnguyen30
Số trang: 5 trang   |   Lượt xem: 2213 lần   |   Lượt tải: 2 lần
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013
KHÓA NGÀY: 16/10/2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R


 x+y+z =0
x3 + y 3 + z 3 = 48

 7
x + y 7 + z 7 = 16128
Câu 2 (4 điểm)
Cho dãy số nguyên (un ) được xác định như sau:
u1 = 1 ; u2 = 2
un = 4un−1 − un−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ N
a) Chứng minh rằng u2n + u2n−1 − 4un un−1 = −3 với n ≥ 2, n ∈ N
b) Chứng minh rằng

u2n − 1
là số chính phương với mọi n, n ∈ N∗ .
3

Câu 3 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (T ) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T ) (P khác A và
B). Gọi (O1 ) và (O2 ) là hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O1 ) tiếp xúc
với (T ) và OA theo thứ tự là M, N, (O2 ) tiếp xúc với (T ) và OB theo thứ tự tại H, L.
a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng M N và HL luôn cùng đi qua
một điểm cố định K.
b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ) với M A và M B, E là giao điểm của CN
với BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta
√
luôn có bất đẳng thức p > R(3 + 2), trong đó p là chu vi tứ giác ABEF .
Câu 4 (4 điểm)
Cho dãy 2013 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , . . . a2013 thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với hai
số bất kì thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi số
hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342.
Câu 5 (4 điểm)
Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ở tất cả các ô là dấu “+”. Một bước thực hiện
bằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khả
năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãy
chứng minh khẳng định của mình.
——HẾT——
Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013
KHÓA NGÀY: 16/10/2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

HƯỚNG DẪN CHẤM
CÂU

NỘI DUNG
3

1(4đ)

ĐIỂM

2

Xét đa thức f (t) = t + at + bt + c có các nghiệm là x, y, z.
Từ phương trình x + y + z = 0, ta suy ra a = 0.
Do đó f (t) = t3 + bt + c
Mặt khác
xn+3 +y n+3 +z n+3 +b (xn+1 + y n+1 + z n+1 )−16 (xn + y n + z n ) = 0
(4)
Và đặt Sn = xn + y n + z n với n ∈ N∗ . Khi đó (4) trở thành
Sn+3 + bSn+1 − 16Sn = 0
Ta có S7 = −bS5 + 16S4 = −b (−bS3 + 16S2 ) + 16 (−bS2 + 16...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013
KHÓA NGÀY: 16/10/2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R
x + y + z = 0
x
3
+ y
3
+ z
3
= 48
x
7
+ y
7
+ z
7
= 16128
Câu 2 (4 điểm)
Cho y số nguyên (u
n
) được xác định như sau:
u
1
= 1 ; u
2
= 2
u
n
= 4u
n1
u
n2
, n 3, n N
a) Chứng minh rằng u
2
n
+ u
2
n1
4u
n
u
n1
= 3 với n 2, n N
b) Chứng minh rằng
u
2
n
1
3
số chính phương với mọi n, n N
.
Câu 3 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (T ) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T ) (P khác A và
B). Gọi (O
1
) và (O
2
) hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O
1
) tiếp xúc
với (T ) và OA theo thứ tự M, N, (O
2
) tiếp xúc với (T ) và OB theo thứ tự tại H, L.
a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng MN và HL luôn cùng đi qua
một điểm cố định K.
b) Gọi C, D theo thứ tự giao điểm thứ hai của (O
1
) với M A và MB, E giao điểm của CN
với BK và F giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta
luôn bất đẳng thức p > R(3 +
2), trong đó p chu vi tứ giác ABEF .
Câu 4 (4 điểm)
Cho dãy 2013 số nguyên dương a
1
, a
2
, a
3
, . . . a
2013
thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với hai
số bất thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi số
hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342.
Câu 5 (4 điểm)
Trong một bảng ô vuông 10 × 10 ô được điền tất cả các ô dấu “+”. Một bước thực hiện
bằng cách đổi toàn bộ những dấu một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. khả
năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được đúng 6 dấu “-” ? Hãy
chứng minh khẳng định của mình.
——HẾT——
Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích thêm.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẦN THƠ 20122013 - Trang 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẦN THƠ 20122013 - Người đăng: tungnguyen30
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
5 Vietnamese
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẦN THƠ 20122013 9 10 914