Ktl-icon-tai-lieu

GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Được đăng lên bởi luan-van
Số trang: 4 trang   |   Lượt xem: 2267 lần   |   Lượt tải: 3 lần
GIẢI TÍCH CƠ BẢN
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
PGS. TS Lê Hoàn Hóa
Ngày 11 tháng 10 năm 2004

1

Giới hạn của dãy số

1.1

Định nghĩa

Cho (xn )n là dãy số thực. Ta nói :
• Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim xn = x hay lim xn = x nếu
n→∞

với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì |xn − x| < .
lim xn = x ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn − x| < ⇐⇒ lim |xn − x| = 0
• Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với
mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn < A).
• Dãy (xn )n phân kỳ nếu không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞.
Như vậy với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n hội tụ hoặc (xn )n phân kỳ.

1.2

Định lý cơ bản

1. Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm,
bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b.
2. Giới hạn kẹp : Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a.
3. Tiêu chuẩn Cauchy :
(xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | <

1.3

Các giới hạn cơ bản

1. lim

1
= 0, ∀α > 0
nα

2. lim q n = 0, ∀q, |q| < 1
√
3. lim n a = 1, ∀a > 0
1

4. lim
5. lim

√
n

np = 1, ∀p ≥ 0

np
= 0, ∀a > 0, ∀p
(1 + a)n

np
= 0, ∀p
en
1
7. lim(1 + )n = e
n
1
8. lim(1 − )n = e−1
n
6. lim

lnp n
= 0, ∀α > 0, ∀p
nα
n
=e
10. lim √
n
n!
9. lim

1.4

Ví dụ

1.4.1

Ví dụ 1

a n
a
) , yn = (1 + )n+1 , n ∈ N.
n
n
1. Chứng minh : (xn )n là dãy tăng, (yn )n là dãy giảm.
Với a > 0, cho xn = (1 +

2. Chứng minh :(xn )n ,(yn )n hội tụ và lim xn = lim yn . Đặt lim xn = lim yn = ea
Giải :
1. Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)n ≥ 1 + nα, ∀n ∈ N .
Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.
Khi đó, do 1 + α ≥ 0 :
(1 + α)n+1 = (1 + α)n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + α2 ≥ 1 + (n + 1)α
Ta có, với mọi n ∈ N :
xn+1
=
xn

a n+1
a
)
1
+
a
a
n+1
n + 1 )n = (1 + a )(1 −
= (1 +
)(
)n
a n
a
n
+
1
n
+
1
(n
+
1)(n
+
a)
(1 + )
1+
n
n
a
na
a2
≥ (1 +
)[1 −
]=1+
>1
n+1
(n + 1)(n + a)
(n + 1)2 (n + a)

(1 +

Vậy (xn )n là dãy tăng.
Tương tự :
a n+1
)
yn
a −1
a
n
=
= (1 +
) [1 +
]n+1
a
n+2
yn+1
n+1
n(n + 1 + a)
(1 +
)
n+1
a
(n + 1)a
(n + 1)a
≥ (1 −
)(1 +
)≥1+
>1
n+1+a
n(n + 1 + a)
n(n + 1 + a)2
(1 +

Vậy (yn )n là dãy giảm.
2

2. Ta có :
(1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2
Vậy (xn )n là dãy tăng, bị chặn trên ; (yn )n là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ. Đặt
a
lim xn = lim yn = lim(1 + )n = ea
n
1.4.2

Ví dụ 2

Cho (xn )...
GIẢI TÍCH BẢN
(ÔN THI THẠC TOÁN HỌC)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
PGS. TS Hoàn Hóa
Ngày 11 tháng 10 năm 2004
1 Giới hạn của y số
1.1 Định nghĩa
Cho (x
n
)
n
y số thực. Ta nói :
y (x
n
)
n
hội tụ về x (x hữu hạn) khi n , hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay lim x
n
= x nếu
với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên n
0
N sao cho với mọi n n
0
thì |x
n
x| < .
lim x
n
= x > 0, n
0
N : n n
0
= |x
n
x| < lim |x
n
x| = 0
y (x
n
)
n
tiến ra + (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A R, tồn tại n
0
N sao cho với
mọi n n
0
thì x
n
> A (theo thứ tự x
n
< A).
y (x
n
)
n
phân kỳ nếu không có lim x
n
hoặc lim x
n
= + hoặc lim x
n
= −∞.
Như vy với một y (x
n
)
n
chỉ có hai trường hợp : hoặc (x
n
)
n
hội tụ hoặc (x
n
)
n
phân kỳ.
1.2 Định bản
1. Nếu(x
n
)
n
y tăng, bị chặn trên và a = sup{x
n
} thì lim x
n
= a. Nếu (x
n
)
n
y giảm,
bị chặn dưới và b = inf{x
n
} thì lim x
n
= b.
2. Giới hạn kẹp : Giả sử : a
n
x
n
b
n
, n n
0
và lim a
n
= lim b
n
= a. Khi đó lim x
n
= a.
3. Tiêu chuẩn Cauchy :
(x
n
)
n
hội tụ > 0, n
0
N : n n
0
, p N = |x
n+p
x
n
| <
1.3 Các giới hạn bản
1. lim
1
n
α
= 0, α > 0
2. lim q
n
= 0, q, |q| < 1
3. lim
n
a = 1, a > 0
1
GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ - Trang 2
GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ - Người đăng: luan-van
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
4 Vietnamese
GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 9 10 821