Ktl-icon-tai-lieu

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Được đăng lên bởi luan-van
Số trang: 4 trang   |   Lượt xem: 672 lần   |   Lượt tải: 0 lần
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 26 tháng 1 năm 2005

§5. Bài ôn tập
Bài 1:
Trên X = C[0,1] ta xét metric hội tụ đều. Cho tập hợp A = {x ∈ X : x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤
1

x2 (t) dt.

1 ∀t ∈ [0, 1]} và ánh xạ f : X → R, f (x) =
0

1. Chứng minh inf f (A) = 0 nhưng không tồn tại x ∈ A để f (x) = 0.
2. Chứng minh A không là tập compact.
Giải
1. • Đặt α = inf f (A). Ta có f (x) ≥ 0 ∀x ∈ A nên α ≥ 0.
Với xn (t) = tn , ta có xn ∈ A
1

t2n dt =

α ≤ f (xn ) =
0

1
−→ 0
2n + 1

(n → ∞)

Do đó α = 0.
• Nếu f (x) = 0, ta có:
1

x2 (t) dt = 0, x2 (t) ≥ 0, x2 (t) liên tục trên [0, 1]
0

=⇒ x(t) = 0
=⇒ x ∈
/ A.

∀t ∈ [0, 1]

2. Ta có:
f liên tục trên X, nhận giá trị trong R (xem bài tập §3)
f (x) = inf f (A)
∀x ∈ A
=⇒ A không compact (xem lý thuyết §4).

1

Bài 2:
Cho (X, d) là không gian metric compact và ánh xạ X → X thỏa mãn
d(f (x), f (y)) < d(x, y)

∀x, y ∈ X, x = y.

(1)

Chứng minh tồn tại duy nhất điểm x0 ∈ X thỏa mãn x0 = f (x0 ) (ta nói x0 là điểm bất động của
ánh xạ f ).
Giải
Ta xét hàm g : X → R, g(x) = d(f (x), x), x ∈ X. Ta chỉ cần chứng minh tồn tại duy nhất
x0 ∈ X sao cho g(x0 ) = 0.
Áp dụng bất đẳng thức tứ giác và điều kiện (1), ta có
|g(x) − g(y)| = |d(f (x), x) − d(f (y), y)| ≤ 2d(x, y)
nên g liên tục. Từ đây và tính compact của X ta có:
∃x0 ∈ X : g(x0 ) = inf g(X)

(2)

Ta sẽ chứng minh g(x0 ) = 0. Giả sử g(x0 ) = 0; ta đặt x1 = f (x0 ) thì x1 = x0 , do đó:
d(f (x1 ), f (x0 )) < d(x1 , x0 )
⇒ d(f (x1 ), x1 )
< d(f (x0 ), x0 )
⇒ g(x1 )
< g(x0 ), mẫu thuẫn với (2).
Vậy g(x0 ) = 0 hay f (x0 ) = x0 .
Để chứng minh sự duy nhất ta giả sử trái lại, có x = x0 và x = f (x ). Khi đó:
d(x , x0 ) = d(f (x ), f (x0 )) < d(x , x0 )
Ta gặp mâu thuẫn.
Bài 3:
Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y . Trên X × Y ta xét metric
d1 ((x, y), (x , y )) = d(x, x ) + ρ(y, y ),

(x, y), (x , y ) ∈ X × Y.

và xét tập hợp G = {(x, f (x)) : x ∈ X}.
1. Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng.
2. Giả sử G là tập đóng và (Y, ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục.
Giải
1. Xét tùy ý dãy {(xn , f (xn ))} ⊂ G mà lim(xn , f (xn )) = (a, b) (1)
Ta cần chứng minh (a, b) ∈ G hay b = f (a).
Từ (1), ta có
lim xn = a

(2),

lim f (xn ) = b
2

(3).

Từ (2) và sự liên tục của f ta có lim f (xn ) = f (a); kết hợp với (3) ta có b = f (a) (đpcm).
2. Xét tùy ý tập đóng F ⊂ Y , ta cần chứng minh f −1 (F ) là tập đóng trong X:
Để chứng minh f −1 (F ) đóng, ta xét tùy ý dãy {xn } ⊂ f −1 (F ) mà lim...
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 26 tháng 1 năm 2005
§5. Bài ôn tập
Bài 1:
Trên X = C
[0,1]
ta xét metric hội tụ đều. Cho tập hợp A = {x X : x(1) = 1, 0 x(t)
1 t [0, 1]} và ánh xạ f : X R, f(x) =
1
0
x
2
(t) dt.
1. Chứng minh inf f(A) = 0 nhưng không tồn tại x A để f(x) = 0.
2. Chứng minh A không tập compact.
Giải
1. Đặt α = inf f(A). Ta f(x) 0 x A nên α 0.
Với x
n
(t) = t
n
, ta x
n
A
α f(x
n
) =
1
0
t
2n
dt =
1
2n + 1
0 (n )
Do đó α = 0.
Nếu f(x) = 0, ta có:
1
0
x
2
(t) dt = 0, x
2
(t) 0, x
2
(t) liên tục trên [0, 1]
= x(t) = 0 t [0, 1]
= x / A.
2. Ta có:
f liên tục trên X, nhận g iá trị trong R (xem bài tập §3)
f(x) = inf f(A) x A
= A không compact (xem thuyết §4).
1
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Trang 2
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Người đăng: luan-van
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
4 Vietnamese
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 9 10 120