Ktl-icon-tai-lieu

Hàm phức và toán tử laplace

Được đăng lên bởi phamtuan411-gmail-com
Số trang: 67 trang   |   Lượt xem: 6599 lần   |   Lượt tải: 8 lần
Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH
§ 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
I. Dạng đại số:
1. Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy
x=Rez: phần thực
y=Imz: phần ảo
i: đơn vị ảo, i 2 = −1
Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C.
2. 2 số phức bằng nhau:
 x = x
x + iy = x + iy ⇔  1 2
1 1 2
2
 y1 = y2

3. Số phức liên hợp:
Số phức liên hợp của z=x+iy là z = x − iy
4. Các phép toán về số phức:
• Phép cộng:
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y 2 )

• Phép trừ:

z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i( y1 − y 2 )

• Phép nhân:

z1 z 2 = ( x1 x2 − y1 y 2 ) + i ( x2 y1 + x1 y 2 )
zz = x 2 + y 2

• Phép chia:
z1
z z
= 1 2
z2 z2 z2
1

Ví dụ: Tính A = ( 2 − 3i )(1 + i ) =
Ví dụ : Rút gọn
B=

( 2 − 3i )(1 + i ) = 5 + i
26

26

i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 i − 1 − i + 1 + i i(1 − i ) i + 1
=
=
=
1+ i
1+ i
2
2

II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác
1. Mặt phẳng phức

Page 1

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

2. Dạng lượng giác:

z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ)

r=

x2 + y2

ϕ = Argument ( z ) = Arg ( z ) = arg( z ) + k 2Π, ( k = 0,±1,±2,)

ϕ là hàm đa trị
arg(z) là giá trị chính ( − Π < arg(z ) < Π )
y

arctan
x>0

x

y
x < 0, y > 0
 Π + arctan
x


y
arg( z ) =  − Π + arctan
x < 0, y < 0
x

Π

x = 0, y > 0

2

Π
−
x = 0, y < 0


2

Ví dụ:
Biểu diễn số phức z=-1-I về dạng lượng giác:
r= 2
Π
3Π
=−
4
4
3
Π
3
Π


⇒ z = 2  cos
− i sin

4
4 

arg z = −Π + arctan 1 = −Π +

Page 2

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

3. Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
z1 z 2 = r1 .r2 [ cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 + ϕ 2 ) ]
z1 r1
= [ cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 − ϕ 2 ) ]
z 2 r2

4. phép lũy thừa và phép khai căn
• z = r [cos( nϕ ) + i sin ( nϕ )]
n

•

n

n

  ϕ + k 2Π 
 ϕ + k 2Π  
 + i sin 
, k = 0; n − 1
z = n r cos
n
n



 

Vậy căn bậc n của số phức z gồm n giá trị
Ví dụ:
Tìm 3 1 + i = 6 2

•

5. Dạng mũ
Công thức Euler:
Ví dụ:
−i


Π

Π

+ k 2Π 
+ k 2Π 



4
4
 + i sin 
, k = 0; n −1
cos




3
3












e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
z = re iϕ

Π
4

z = −1 − i = 2e
5. Một số miền trong mặt phẳng phức:
• z − z : Khoảng cách giữa 2 số phức.
• z − z =r : Đường tròn tâm Z0, bán kính r.
• z − z < r : Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình ...
Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace
CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH
§ 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
I. Dạng đại số:
1. Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy
x=Rez: phần thực
y=Imz: phần ảo
i: đơn vị ảo,
1
2
=
i
Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C.
2. 2 số phức bằng nhau:
=
=
+=+
21
21
2211
yy
xx
iyxiyx
3. Số phức liên hợp:
Số phức liên hợp của z=x+iy là
iyxz
=
4. Các phép toán về số phức:
Phép cộng:
( ) ( )
212121
yyixxzz
+++=+
Phép trừ:
( ) ( )
212121
yyixxzz
+=
Phép nhân:
( ) ( )
22
2112212121
yxzz
yxyxiyyxxzz
+=
++=
Phép chia:
22
21
2
1
zz
zz
z
z
=
Ví dụ: Tính
( )( )
( )( )
26
5
26
132
132
1 iii
ii
A
+
=
+
=
+
=
Ví dụ : Rút gọn
( )
2
1
2
1
1
11
1
5432
+
=
=
+
++
=
+
++++
=
iii
i
iii
i
iiiii
B
II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác
1. Mặt phẳng phức
Page 1
Hàm phức và toán tử laplace - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Hàm phức và toán tử laplace - Người đăng: phamtuan411-gmail-com
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
67 Vietnamese
Hàm phức và toán tử laplace 9 10 905