Ktl-icon-tai-lieu

Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến

Được đăng lên bởi Nhien Nguyen
Số trang: 37 trang   |   Lượt xem: 1622 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến
DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu1: (1đ) Cho hàm số z = arctg

Z = artag

z' '

yy  (

x
y

chứng minh z’’xx + z’’yy= 0

x
1
x
y
1
x
z' y 
.

Z’X =
=
2
x
2
x 2
2
2
2
y
y 1 ( )
x  y2
x y
y (1  ( ) )
y
y

x
x y
2

2

) ' y =  x.

Nên  z ' ' xx  (

y
x2  y 2

) x ' = -y.

2x
( x2  y 2 )2



2 xy
( x 2  y 2 )2

2 xy  2 xy
(2 y)
2 xy
 0. (đpcm )
Vậy  z ' ' xx  z ' ' yy 
 2
2
2 2
2 2
( x 2  y 2 )2
(x  y ) (x  y )

Câu 3: (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’ x-yz’y=x
Z =x + f(xy) vì f(t) khả vi  f’(t) = f ’(xy)

'
'
 z x  ( x  f ( xy) x  1  ( xy)' x. f ' ( xy) (a);
'
'
'
' '
Z’Y = ( x  f ( xy)) y  0  ( xy) y . f ( xy)  x. f ( xy)
'
'
x.z ' x  y.z ' y  x(1  yf ( xy))  y( x. f ( xy))

(b) Thay (a) và (b) ta có

'
'
= x  xyf ( xy)  xyf ( xy)  x (đpcm)
Câu 4: (1đ) Cho hàm số z = y f (x 2-y2), với f(t) là hàm số khả vi CMR

1
1
z
z' x  z' y  2
y
y
y

z  yf ( x 2  y 2 )  z ' x ( yf ( x 2  y 2 ) ' x  y.( x 2  y 2 ) ' x . f ' ( x 2  y 2 )  2 xy. f ' ( x 2  y 2 )
và

z ' y  ( yf ( x2  y 2 ))' y  f ( x2  y 2 )  y( x2  y 2 )' y . f ' ( x2  y 2 )  f ( x2  y 2 )  2 y 2. f ' ( x2  y 2 )
1 '
1
.z x  .z ' y 
x
y

Khi đó 

f ( x2  y2 )
1
1
.2 xyf ' ( x 2  y 2 )  .( f ( x 2  y 2 )  2 y 2 f ' ( x 2  y 2 )) =
y
x
y

(đpcm)

Câu 5: (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= x2  y 2 CMR z’’ xx + z’’yy=0
z  ln

r' y 

1
  ln r ,với r  x  y 2 Ta có: r ' x 
r
2y

2 x2  y 2



y
r

2x
2 x2  y 2



x
r

1
1 x x
 z 'x  ( ln r ) / x   .r 'x   .  2
r
r r r

2r ' .r
x
1
 z ' ' xx  ( 2 )' x  2  x. 4x 
r
r
r

x
 r 2  2 x. .r
2
2
r  2 x  r (a)
r4
r4

Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức  tính tương tự ta được :
2
2
2
2
2 y2  r 2
z ' ' yy 
(b) Cộng 2 vế (a) và (b)  z ' '  z ' '  2 x  r  2 y  r
xx
yy
r4
r4
r4



2( x 2  y 2 )  2r 2
= 0 (đpcm )
r4

Câu 6: (1đ) Cho hàm số

z  xarctg

Khi đó

x 2
x
1
1
x
xy
 x  y 2  z ' x  arctg  x. .
 2 x  arctg  2
 2x
y
y
y 1  ( x )2
y x  y2
y

x.z 'x  xarctg

x
x2 y
 2 x2  2
(a)
y
x  y2

x
1
 x2
 x2 y
.
 2y  2
 2 y  y.z ' y  2
 2 y 2 (b)
2
2
y 1  ( x )2
x y
x  y2
y
Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được
z ' y  x.

xz ' x  y.z ' y  xarctg

x
 x2 y
x
 2x 2  2
 2 y 2  xarctg  2( x 2  y 2 )  xz ' x  yz ' y  z  ( x 2  y 2 )
2
y
y
x y



Câu 7: (1đ)

u  x 2  y 2  z 2 , A( 1,1, 2 )
Ta có :
 u
 x



2x

u( A )

x
...
Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến
http://onluyen.net
DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM
u1: (1đ) Cho hàm số z = arctg
y
x
chứng minh z’’
xx
+ z
yy
= 0
Z = artag
y
x
Z’
X
=
)
2
)(1(
1
y
x
y
=
22
yx
y
22
2
)(1
1
.
2
'
yx
x
y
x
y
x
y
z
n
'
)
22
(''
x
yx
y
xx
z
= -y.
2
)
22
(
2
2
)
22
(
2
yx
xy
yx
x
y
yx
x
yy
z
'
22
)(
''
=
Vậy
yy
z
xx
z ''''
.0
2
)
22
(
22
yx
xyxy
(đpcm )
u 3: (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’
x
-yz’
y
=x
Z =x + f(xy) f(t) khả vi  f
(t) = f
(xy)
x
xyfx
x
z
'
)((
'
)(
'
.
'
)(1 xyfxxy
(a);
Z
Y
=
)(
'
.
'
)(0
'
))(
'
( xyf
y
xy
y
xyfx
)(
'
. xyfx
(b) Thay (a) và (b) ta có
y
zy
x
zx
'
.
'
.
))(.())(1(
''
xyfxyxyyfx
=
)(
'
)(
'
xyxyfxyxyfx
x (đpcm)
u 4: (1đ) Cho hàm số z = y f (x
2
-y
2
), với f(t) là hàm số khả vi CMR
2
'
1
'
1
y
z
z
y
z
y
yx
)
22
( yxyfz
)(.2)(.).()((
22'22''22'22'
yxfxyyxfyxyyxyfz
xxx
)(.2)()(.)()())((
22'22222''2222'22'
yxfyyxfyxfyxyyxfyxyfyz
yy
Khi đó
y
z
y
x
z
x
'
.
1
'
.
1
))(2)(.(
1
)(2.
1
22'22222'
yxfyyxf
y
yxxyf
x
=
y
yxf )
22
(
(đpcm)
Câu 5: (1đ) Cho hàm sz = ln(1/r) với r=
22 yx
CMR z’’
xx
+ z’’
yy
=0
r
r
z ln
1
ln
,vi
2
yxr
Ta :
r
x
yx
x
x
r
22
2
2
'
r
y
yx
y
y
r
22
2
2
'
2
/
.
1
'.
1
)ln('
r
x
r
x
r
r
r
rz
x
x
x
)(
2
..2
.'2
.
1
)'(''
4
22
4
2
422
a
r
rx
r
r
r
x
xr
r
rr
x
rr
x
z
x
xxx
Với vai tcủa x và y là tương đương nhau trong biểu thức tính tương tự ta được :
)(
4
22
2
'' b
r
ry
yy
z
Cộng 2 vế (a) và (b)
4
222
4
22
4
22
2)(222
''''
r
ryx
r
ry
r
rx
zz
yyxx
= 0 (đpcm )
Câu 6: (1đ) Cho hàm số
x
yx
xy
y
x
arctgx
y
x
y
x
y
x
arctgzyx
y
x
xarctgz
x
22
)(1
1
.
1
.'
22
2
22
Khi đó
)(2'.
22
2
2
a
yx
yx
x
y
x
xarctgzx
x
)(2'.22
)(1
1
..'
2
22
2
22
2
2
2
by
yx
yx
zyy
yx
x
y
y
x
y
x
xz
yy
Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được
)('')(222'.'
22222
22
2
2
yxzyzxzyx
y
x
xarctgy
yx
yx
x
y
x
xarctgzyxz
yxyx
Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến - Người đăng: Nhien Nguyen
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
37 Vietnamese
Thư viện giáo trình và đề thi trực tuyến 9 10 139