Ktl-icon-tai-lieu

Toán giải tích

Được đăng lên bởi Nguyễn Minh
Số trang: 9 trang   |   Lượt xem: 518 lần   |   Lượt tải: 0 lần
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH CAO HỌC
(TUYỂN SINH LẦN 1 - NĂM 2012)

MÔN: GIẢI TÍCH (PHẦN GIẢI TÍCH HÀM)
1. Khoảng cách
 Định nghĩa: Cho tập hợp X. Ánh xạ d : X  X  ¡ được gọi là một metric trên X nếu nó
thoả các tiên đề sau:
i) d ( x, y )  0  x, y  X

d ( x, y )  0  x = y.
ii) d ( x, y )  d ( y, x)  x, y  X
iii) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y )  x, y, z  X.
Tập X cùng với metric d xác định trên nó được gọi là không gian metric và được kí
hiệu (X, d).
 Định nghĩa: Cho không gian tuyến tính X. Ánh xạ || . ||: X  ¡ được gọi là chuẩn trên X
nếu nó thoả các tiên đề sau:
i) || x ||  0

 x  X,

|| x || = 0  x = 0.
ii) || x || = ||.|| x ||  x  X,
iii) || x + y ||  || x || + || y ||

 x, y  X.

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn || . || xác định trên X được gọi là không gian
định chuẩn và được kí hiệu (X, || . ||).
 Nhận xét:
Cho không gian định chuẩn (X, || . ||). Với mọi x, y  X, đặt d(x, y) = || x - y||
thì d là metric trên X. Do đó mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric
xác định như trên.
Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không gian định chuẩn.
 Tính chất:
Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều các chuẩn đều tương đương.
 Các không gian định chuẩn thông dụng:
12

 n

với x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ta có chuẩn || x ||    | xi |2 .
 i 1

max
ii) Không gian C[ a ,b ] các hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn || x || = at b | x(t ) | .
i) Không gian ¡

n

iii) Không gian C[1a ,b ] các hàm có đạo hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn
| x (t ) | .
|| x || = | x( a) |  amax
t b
iv) Không gian l p (1  p  ) các dãy vô hạn x = (xn) với chuẩn

1

1 p


|| x || p =   | x | p
.

i 
 i 1

iv) Không gian Lp [a, b] , p  1, các hàm luỹ thừa p khả tích Lebesgue trên [a, b] với



b

chuẩn || f || = a | f (t ) | p dt



1 p

(f  Lp [a, b] ).

 Cận dưới lớn nhất (inf) và cận trên nhỏ nhất (sup):
 a  x, x  A
.
   0, x '  A : a  x '  a  

inf A = a  

 x  b, x  B
   0, x '  B : b    x '  b

sup B = b  
 Khoảng cách:

Trong không gian metric (X, d) cho tập A, B và phần tử x. Ta định nghĩa
d ( x, y ) .
i) d(x, A) = inf
yA
ii) d ( A, B ) =

inf

xA, yB

iii) diam(A) =

d ( x, y ) .

sup d ( x, y )

xA, yB

(đường kính - diameter- của tập A)

 Bài tập
Chứng minh rằng:
1. | d (u , v)  d ( x, y ) |  d (u, x)  d (v, y ) .
n 1

2. d ( x1 , xn )   d ( xi , xi 1 ) (n  2).
i 1

3. | d ( x, A)  d ( y, A) |  d(x, y).
4. Nếu A  B  ...
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH CAO HỌC
(TUYỂN SINH LẦN 1 - NĂM 2012)
MÔN: GIẢI TÍCH (PHẦN GIẢI TÍCH HÀM)
1. Khoảng cách
Định nghĩa: Cho tập hợp X. Ánh xạ
:d X X ¡
được gọi là một metric trên X nếu nó
thoả các tiên đề sau:
i)
( , ) 0d x y
x, y X
( , ) 0d x y
x = y.
ii)
( , ) ( , )d x y d y x
x, y X
iii)
( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y
x, y, z X.
Tập X cùng với metric d xác định trên được gọi không gian metric được
hiệu (X, d).
Định nghĩa: Cho không gian tuyến tính X. Ánh xạ || . ||: X
¡
được gọi chuẩn trên X
nếu nó thoả các tiên đề sau:
i) || x || 0 x X,
|| x || = 0 x = 0.
ii) || x || = ||.|| x || x X,
iii) || x + y || || x || + || y || x, y X.
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn || . || xác định trên X được gọi không gian
định chuẩn và được kí hiệu (X, || . ||).
Nhận xét:
Cho không gian định chuẩn (X, || . ||). Với mọi x, y X, đặt d(x, y) = || x - y||
thì d metric trên X. Do đó mọi không gian định chuẩn đều không gian metric với metric
xác định như trên.
Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không gian định chuẩn.
Tính chất:
Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều các chuẩn đều tương đương.
Các không gian định chuẩn thông dụng:
i) Không gian
n
¡
với x =
1 2
( , ,..., )
n
x x x
ta có chuẩn
1 2
2
1
|| || | |
n
i
i
x x
.
ii) Không gian
các hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn || x || =
max | ( ) |
a t b
x t
.
iii) Không gian
các hàm có đạo hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn
|| x || =
| ( ) | max | ( ) |
a t b
x a x t
.
iv) Không gian
p
l
(1 p ) các dãy vô hạn x = (x
n
) với chuẩn
1
Toán giải tích - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Toán giải tích - Người đăng: Nguyễn Minh
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
9 Vietnamese
Toán giải tích 9 10 504