Ktl-icon-tai-lieu

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn

Được đăng lên bởi trangubonmat1801
Số trang: 37 trang   |   Lượt xem: 992 lần   |   Lượt tải: 0 lần
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn 

PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1/Định nghĩa

 A B  A B  0

 A B  A B  0

2/Tính chất
+ A>B  B  A
+ A>B và B >C  A  C
+ A>B  A+C >B + C
+ A>B và C > D  A+C > B + D
+ A>B và C > 0  A.C > B.C
+ A>B và C < 0  A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D
+ A > B > 0  A n > B n n
+ A > B  A n > B n với n lẻ
+ A > B  A n > B n với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1  A m > A n
+ m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n
+A < B và A.B > 0



1 1

A B

3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -A <A= A
+ A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Sưu tầm và tuyển chọn

1

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn 
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M
Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng :
a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z)
Giải:
1
2

a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)
1
( x  y ) 2  ( x  z ) 2  ( y  z ) 2 0 đúng với mọi x;y;z  R
2
Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

=





b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z  R
Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
2

a2  b2  a  b 

a)
 ;
2
 2 

b)

a2  b2  c2  a  b  c 


3
3



2

c) Hãy tổng quát bài toán

Giải:
2

a2  b2  a  b 

a) Ta xét hiệu

2
 2 
1
1
2 a2  b2
a 2  2ab  b 2
2

=
= 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab =  a  b  0
4
4
4
4
2
2
2
a b
 a b

Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b
 .
2
 2 









b)Ta xét hiệu
2

a2  b2  c2  a  b  c  1
2
2
2

 =  a  b    b  c    c  a  0 .Vậy
3
3

 9

a2  b2  c2  a  b  c 


3
3



Sưu tầm và tuyển chọn
...
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com
PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1/Định nghĩa
0
0
A B A B
A B A B
2/Tính chất
+ A>B
AB
+ A>B và B >C
CA
+ A>B
A+C >B + C
+ A>B và C > D
A+C > B + D
+ A>B và C > 0
A.C > B.C
+ A>B và C < 0
A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C <D
0 < A.C < B.D
+ A > B > 0
A
n
> B
n
n
+ A > B
A
n
> B
n
với n lẻ
+
A
>
B
A
n
> B
n
với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1
A
m
> A
n
+ m > n > 0 và 0 <A < 1
A
m
< A
n
+A < B và A.B > 0
BA
11
3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A
2
0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A
n
0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+
0A
với
A
(dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -
A
< A =
A
+
A B A B
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+
BABA
( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Sưu tầm và tuyển chọn
1
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn - Người đăng: trangubonmat1801
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
37 Vietnamese
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn 9 10 0