Ktl-icon-tai-lieu

Bài tập giải tích hàm

Được đăng lên bởi datpham1994
Số trang: 71 trang   |   Lượt xem: 1828 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Phạm Đình Đồng

Exercises
in
Functional
1st Edition

Analysis

A review for final exam
2008

Lời tựa
To all the girls
i love before.
Tôi đến với giải tích hàm như một "sự sắp đặt của số phận". Có lẽ, đó
là nguyên nhân để tôi việc viết tập tài liệu nhỏ này. Xin nhấn mạnh rằng,
đây chỉ là sự góp nhặt khai triển chẳng có gì là sáng tạo. Thỉnh thoảng có
đôi lời khen tặng, tôi lấy làm xấu hổ như đã cưỡng chiếm một cái gì đó
không phải phận mình được hưởng.
Khi một kẻ bình thường quên ước lượng tài sức của mình, viết về một
điều quá rộng lớn và trừu tượng chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong sự chỉ giáo của các độc giả.
Nước muôn sông không đủ cho tôi rửa tai để nghe những lời cao luận.

Huế, tháng 5, 2008.
Phạm Đình Đồng

3

Ph.D.Dong
"A journey of a thousand miles begin with one step" - Lão Tử

1

Không gian định chuẩn

Bài tập 1.1. Cho X là một không gian vectơ , f1 , f2 : X −→ K là các ánh
xạ tuyến tính thỏa f1 (x)f2 (x) = 0, ∀x ∈ X. Chứng minh rằng f1 ≡ 0 hoặc
f2 ≡ 0.
Chứng minh. Giả sử f1 = 0 ta cần chứng minh f2 = 0. Vì f1 = 0 nên tồn
tại x1 ∈ X sao cho f1 (x1 ) = 0, lúc đó
f2 (x1 f1 (x1 )) = f2 (x1 )f1 (x1 ) = 0
Suy ra f2 (x1 ) = 0 hay x1 ∈ Kerf2 .
Nếu f2 = 0 lúc đó tồn tại x2 ∈ X sao cho f2 (x2 ) = 0 thì x2 ∈ Kerf1 . Đặt
x0 = x1 + x2 , lúc đó
f1 (x0 ) = f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = f1 (x1 ) = 0
f2 (x0 ) = f2 (x1 ) + f2 (x2 ) = f2 (x2 ) = 0
=⇒ f1 (x0 )f2 (x0 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) = 0
Mâu thuẫn với giả thiết, vậy f2 ≡ 0.
Bài tập 1.2. Cho X là không gian vectơ , A : X −→ X là ánh xạ tuyến
tính thỏa A2 = 0. Chứng minh rằng Id − A là song ánh.
Chứng minh. Với mọi x1 , x2 ∈ X thỏa (Id − A)(x1 ) = (Id − A)(x2 ) ⇒
x1 − A(x1 ) = x2 − A(x2 ) ⇒ A(x1 − x2 ) = x1 − x2 ⇒ A2 (x1 − x2 ) =
A(x1 ) − A(x2 ) = 0 ⇒ A(x1 ) = A(x2 ). từ đó suy ra x1 = x2 . Vậy Id − A là
đơn ánh.
Với mọi y ∈ X, xét x = A(y)+y ∈ X, khi đó (Id−A)(x) = (Id−A)(A(y)+
y) = A(y) + y − A(A(y) + y) = A(y) + y − A2 (y) − A(y) = y. Vậy Id − A
là toàn ánh.
Vậy Id − A là song ánh.
Bài tập 1.3. Cho X, Y là hai không gian vectơ với dimX = n, dimY = m.
Chứng minh rằng dim(L(X, Y )) = n.m.
Chứng minh. Ta có L(X, Y ) = {f : X −→ Y là các ánh xạ tuyến tính } là
một không gian vectơ . Lúc đó L(X, Y ) ∼
= Matn×m (K), suy ra dim(L(X, Y ))
= dimMatn×m (K).
Mặt khác ta thấy Aij là ma trận sao cho aij = 1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m còn
các vị trí còn lại bằng 0 thì lúc đó hệ gồm {(Aij )}, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

4

Ph.D.Dong
là độc lập tuyến tính.
Mặt khác



. . . a1n
. . . a2n 
. . . ... 

. . . amn

a11
 a21...
Phạm Đình Đồng
Exercises
in
Functional
Analysis
A review for final exam
2008
1st Edition
Bài tập giải tích hàm - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Bài tập giải tích hàm - Người đăng: datpham1994
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
71 Vietnamese
Bài tập giải tích hàm 9 10 676