Ktl-icon-tai-lieu

Bất đẳng thức

Được đăng lên bởi peterhoangminhlinh
Số trang: 14 trang   |   Lượt xem: 495 lần   |   Lượt tải: 0 lần
February 22, 2015

BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bất đẳng thức trong đề đại học
Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho a , b và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P

(a  b  c)(ab  bc  ca)
4bc

abc
(b  c) 2

Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)
Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b  c .
Khi đó P 

(a  2b)(ab  b 2  ab)
(a  2b)(b  2a)
a b
1 
1  2    5 1
2
ab
ab
b a

Đến đây ta có thể dự đoán a  b (theo Cauchy).
Từ đây ta sẽ biết được a  b  c
Giải: P 

(a  b  c)(ab  bc  ca)
4bc


abc
(b  c) 2

Đến đây ta dùng Bất đẳng thức phụ:

1 1 1
4bc
  
2
 a b c  (b  c)

 a  b  c  

(a  b)( x  y)  ax  by

 (a  b)( x  y)  ax  by  2 abxy  ay  bx  2 abxy (luôn đúng theo Cauchy).
Dấu = xảy ra khi

a x
 .
b y

Đến đây ta sẽ lồng biểu thức

1 1 1
   vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn a .
a b c

 a  b  c  

1 1 1
1
bc
1 1
    a.  (b  c)     1 
a
bc
a b c
b c

 a  b  c  

1
a
a
bc
 a 

 a 2  bc . Điều này đi đúng với
Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi
bc 1  1
b  c a (b  c)
b c
hướng đã vạch ra là a  b  c .
( Ở bước này ta có thể làm như sau
2

2

 b  c   a(b  c)  b  c  1   b  c   2 b  c  1  b  c
1 1 1
)
 a  b  c       1 
bc
bc
a
bc
bc
bc
a b c
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT

February 22, 2015

 P  1

BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

bc
4bc
1
bc  1 

 1   4t 2  f (t ), t 
  0;
2
t
b  c  2 
bc  b  c 

1 8t 3  1
f '(t )  8t  2  2 
t
t

8.

1
1
23
 0  f (t ) nghịch biến trên
1
22

 1
 0; 
 2

1
1
 f (t )  f    4 . Dấu = khi t   a  b  c
2
2
Vậy MinP  4 khi a  b  c .

Câu 2: (nguoithay.vn) Cho a , b và c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c(a  b)  4c 2  4 . Tim giá trị lớn
2

2

a b  c  b  a  c  1
nhất của P 

 .
ac
bc
c
Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra a  b . Khi đó, giả thiết sẽ là a 2  ac  2c 2  2
2

2

Dấu = khi c 

1
,a  b 1
2

a a  c a a  c 1
1
1
1 1 

P

  2a(a  c)   4  4c 2   4   4c 2     1 (cauchy 3 số)
ac
ac
c
c
c
2c 2c 


 x  y
Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ
ab

2



x2 y2

a
b

Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia. Nó có rất
nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz. Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều t...
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Bất đẳng thức trong đề đại học
Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho
,a b
và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
( )( ) 4
( )
a b c ab bc ca bc
P
abc b c
Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)
Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi
b c
.
Khi đó
2
2
( 2 )( ) ( 2 )( 2 )
1 1 2 5 1
a b ab b ab a b b a a b
P
ab ab b a
Đến đây ta có thể dự đoán
a b
(theo Cauchy).
Từ đây ta sẽ biết được
a b c
Giải:
2 2
( )( ) 4 1 1 1 4
( ) ( )
a b c ab bc ca bc bc
P a b c
abc b c a b c b c
Đến đây ta dùng Bất đẳng thức phụ:
( )( )
a b x y ax by
( )( ) 2 2
(luôn đúng theo Cauchy).
Dấu = xảy ra khi
a x
b y
.
Đến đây ta sẽ lồng biểu thức
1 1 1
a b c
a b c
vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn
a
.
1 1 1 1 1 1
. ( ) 1
b c
a b c a b c
a b c a b c
bc
Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi
2
1
1 1
( )
a a bc
a
a bc
b c b c a b c
b c
. Điều này đi đúng với
hướng đã vạch ra là
a b c
.
( Ở bước này ta có thể làm như sau
2 2
1 1 1 ( )
1 1 2 1
b c b c
a b c b c b c b c
a b c
a b c bc bc a bc
bc bc
)
Bất đẳng thức - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Bất đẳng thức - Người đăng: peterhoangminhlinh
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
14 Vietnamese
Bất đẳng thức 9 10 360