Ktl-icon-tai-lieu

Bất đẳng thức Cauchy và các dạng toán liên quan

Được đăng lên bởi vuive-beo
Số trang: 48 trang   |   Lượt xem: 2318 lần   |   Lượt tải: 1 lần
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
------------------

Nguyễn Văn Mậu

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN TOÁN

ĐỒNG THÁP - 06-09/09/2012

1

Mục lục
1 Các tính chất của tam thức bậc hai

2

2 Bất đẳng thức Cauchy

11

3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

12

4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β)

15

5 Nhận xét về một số dạng bất đẳng thức liên quan

17

6 Nội suy bất đẳng thức bậc hai trên một đoạn.

22

7 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy
7.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
7.2 Kỹ thuật tách và ghép bộ số . . . . .
7.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số . .
7.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

27
27
30
36
39

8 Bài tập áp dụng

44

Tài liệu tham khảo

46

2

BÀI GIẢNG VỀ
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ CÁC
DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Nguyễn Văn Mậu
Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN

Tóm tắt nội dung
Bất đẳng thức dạng bậc hai (bất đẳng thức Cauchy mà chúng ta quen gọi là
bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-ski) là dạng toán đơn giản nhất của bất đẳng thức mà
học sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9. Gắn với nó là các định lí Vi-ét
(Viète) dạng thuận và đảo, đóng vai trò rất quan trọng trong các tính toán và ước
lượng giá trị của một số biểu thức dạng đối xứng theo hệ các nghiệm của phương
trình bậc hai tương ứng.
Đến chương trình Đại số lớp 10, mảng bài tập về các ứng dụng định lí thuận và
đảo về dấu của tam thức bậc hai là công cụ hữu hiệu của nhiều dạng toán khác ở
bậc trung học phổ thông.
Bài giảng này nhằm cung cấp cho các học viên những ý tưởng chính của bất
đẳng thức Cauchy (thực và phức, thuận và đảo, lý thuyết và ứng dụng) gắn với các
dạng toán thi olympic khu vực và quốc tế.

1

Các tính chất của tam thức bậc hai

Có lẽ dạng bất đẳng thức cơ bản và cũng là quan trọng nhất trong chương trình
đại số cấp trung học cơ sở chính là bất đẳng thức dạng sau đây
x2

0, ∀x ∈ R.

(1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Gắn với bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức dạng sau
(x1 − x2 )2

0, ∀x1 , x2 ∈ R,

hay
x21 + x22

2x1 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 .
Bất đẳng thức (1) là dạng bậc hai đơn giản nhất của bất đẳng thức bậc hai mà
học sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9. Định lí Viete đóng vai trò rất
quan trọng trong việc tính toán và ước lượng giá trị của một số biểu thức dạng đ...
6
2) Nếu y = 0 suy ra
M
a
=
t
2
+ 1
2t
2
+ t + 1
, t =
x
y
T a c h cần xác định các giá trị
M
a
<
1
2
, sao c h o phương trình
M
a
=
t
2
+ 1
2t
2
+ t + 1
nghiệm.
Nghĩa phương trình
2
M
a
1
t
2
+
M
a
t +
M
a
1 = 0
nghiệm. Thế thì biệt thức phải không âm. T a
∆ =
M
a
2
4
2
M
a
1

M
a
1
0
hay
7
M
a
2
+ 12
M
a
4 0.
Giải bất phương trình bậc hai y ta được
6 2
2
7
M
a
6 + 2
2
7
.
Suy ra
M
6 2
2
7
a
6 2
2
7
= M
0
.
V y min M =
6 2
2
7
, đạt được khi v à c h khi
x = M
1
y
2x
2
+ y
2
+ xy = 1
x = M
1
y
y = ±
2(1 2M
0
)
2 7M
0
+ 7M
2
0
,
v i M
1
=
M
0
2(2M
0
1)
, M
0
=
6 2
2
7
.
dụ 2. Cho
x
2
+ y
2
+ xy = 1.
Tìm giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức
A = x
2
xy + 2y
2
.
Giải. T a thể viết A dưới dạng
A =
x
2
xy + 2y
2
x
2
+ xy + y
2
.
1) Nếu y = 0 thì A = 1.
Bất đẳng thức Cauchy và các dạng toán liên quan - Trang 8
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Nếu xem trực tuyến bị lỗi, bạn có thể tải về máy để xem.

Bất đẳng thức Cauchy và các dạng toán liên quan - Người đăng: vuive-beo
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
48 Vietnamese
Bất đẳng thức Cauchy và các dạng toán liên quan 9 10 607