Ktl-icon-tai-lieu

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

Được đăng lên bởi tongkhanhlinhnt
Số trang: 13 trang   |   Lượt xem: 1432 lần   |   Lượt tải: 5 lần
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
Nguyễn Tăng Vũ
1. Đường thẳng Euler.
Bài toán 1. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm
trên một đường thẳng. (Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác.)
Chứng minh.
Cho tam giác ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó BHCD là
hình bình hành, suy ra trung điểm M của BC cũng là
trung điểm của HD. Tam giác AHD có OM là đường
trung bình, suy ra OM = ½ AH . Suy ra GM/GA =
OM/AH = ½ . Suy ra ΔAHG ∼ ΔMOG (c.g.c)
Suy ra H,G, O thẳng hàng và GH = 2GO.
Nhận xét. Khi nói đến đường thẳng Euler thì ta chỉ cần
cho đường thẳng đi qua hai trong 3 điểm trên.
Bài toán 1.1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực
tâm H và tâm ngoại tiếp O. Gọi P là điểm đối xứng của
H qua O. Gọi G1, G2, G3 là trọng tâm của các tam giác
PBC, PAC và PAB. Chứng minh rằng G1A = G2B = G3C và G1A, G2B , G3C đồng quy.
Hướng dẫn:
Chứng minh GG1 song song với AP và GG1 = 1/3 AP.
Hơn nữa GO = 1/3 OP. Suy ra A, O, G1 thẳng hàng và AG1=
4/3 AO.

Chứng minh tương tự ta cũng có BG2, CG3 cùng đi qua O và
BG2 = 4/3 BO , CG3 = 4/3 CO.
Bài toán 1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
(O). (J) là đường tròn bàng tiếp thuộc góc A của tam
giác ABC.
(J) tiếp xúc BC, AB, AC tai. M. N. P.
Chứng minh rằng OJ là đường thẳng Euler của tam giác MNP
1

Hướng dẫn:
Gọi M1, N1, P1 là giao điểm của JA, JB, JC với PN, PM và MN. Khi đó M1, N1, P1 lần lượt là
trung điểm của PN, PM, MN. Do đó đường tròn Euler của tam giác MNP là đường tròn ngoại tiếp
tam giác M1N1P1.
Gọi A’, B’, C’ là giao điểm của JA, JB và JC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta
có JB’.JB = JA’.JA = JC’.JC
Hơn nữa ta có JB.JN1 = JA.JM1 = JC.JP1
Do đó JN1/JB’ = JM1/JA’ = JP1/JC’
Suy ra M1N1 //A’B’, P1M1 //A’C’ và
N1P1//B’C’
Từ đó ta có tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác M1N1P1, tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’B’C’ và J thẳng hàng.
Suy ra tâm ngoại tiếp tam giác M1N1P1
thuộc JO.
Mặt khác J là tâm ngoại tiếp của tam giác
MNP.
Vậy JO là đường thẳng Euler của tam
giác MPN.
Bài toán 1.3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), với các đường cao AA’, BB’ và CC’.
Gọi da, db, dc là các đường thẳng Euler của các tam giác AB’C’, BA’C’ và CA’B’. Gọi d’a, d’b, d’c
là các đường thẳng đối xứng với da, db, dc qua AI, BI và CI. Chứng minh d’a, d’b, d’c đôi một song
song.
Hướng dẫn: Gọi B1, C1 đối xứng với B’, C’ qua AI, khi đó d’a là đường thẳng Euler của tam giá...
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
Nguyễn Tăng Vũ
1. Đường thẳng Euler.
Bài toán 1. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm
trên một đường thẳng. (Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác.)
Chứng minh.
Cho tam giác ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó BHCD là
hình bình hành, suy ra trung điểm M của BC cũng là
trung điểm của HD. Tam giác AHD có OM là đường
trung bình, suy ra OM = ½ AH . Suy ra GM/GA =
OM/AH = ½ . Suy ra ΔAHG ΔMOG (c.g.c)
Suy ra H,G, O thẳng hàng và GH = 2GO.
Nhận xét. Khi nói đến đường thẳng Euler thì ta chỉ cần
cho đường thẳng đi qua hai trong 3 điểm trên.
Bài toán 1.1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực
tâm H và tâm ngoại tiếp O. Gọi P là điểm đối xứng của
H qua O. Gọi G
1
, G
2
, G
3
là trọng tâm của các tam giác
PBC, PAC và PAB. Chứng minh rằng G
1
A = G
2
B = G
3
C và G
1
A, G
2
B , G
3
C đồng quy.
Hướng dẫn:
Chứng minh GG
1
song song với AP và GG
1
= 1/3 AP.
Hơn nữa GO = 1/3 OP. Suy ra A, O, G
1
thẳng hàng và AG
1
=
4/3 AO.
Chứng minh tương tự ta cũng có BG
2
, CG
3
cùng đi qua O và
BG
2
= 4/3 BO , CG
3
= 4/3 CO.
Bài toán 1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
(O). (J) là đường tròn bàng tiếp thuộc góc A của tam
giác ABC.
(J) tiếp xúc BC, AB, AC tai. M. N. P.
Chứng minh rằng OJ là đường thẳng Euler của tam giác MNP
1
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG - Người đăng: tongkhanhlinhnt
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
13 Vietnamese
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG 9 10 372