Ktl-icon-tai-lieu

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG

Được đăng lên bởi hoahuongduong96
Số trang: 30 trang   |   Lượt xem: 2056 lần   |   Lượt tải: 1 lần
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG
Phương pháp 1: Hệ số bất ñịnh.
Nguyên tắc chung:
+) Dựa vào ñiều kiện bài toán, xác ñịnh ñược dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc
f(x) = ax2+ bx + c.
+) ðồng nhất hệ số ñể tìm f(x).
+) Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) ñều không thỏa mãn ñiều kiện bài toán.
Ví dụ 1: Tìm f : R → R thỏa mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) .
Lời giải:
x = 1
Thay 
vào (18) ta ñược: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) .
y∈R

(

)

Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ðặt a = f ( − f (1) − 1) + 1 ta
ñược: f ( a ) = −1 .
y = a
ta ñược: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) .
Chọn 
x ∈ R
ðặt f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Thế vào (1) và ñồng nhất hệ số ta ñược:

a = 1
 f ( x) = x
a 2 = 1

⇒   a = −1 ⇒ 
.

 f ( x ) = − x
− a b − a = −a 
b = 0
Vậy có hai hàm số cần tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x .
Ví dụ 2: Tìm f : R → R thỏa mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) .
Lời giải:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) .

(

)

Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ' ) .

( a ) + ( a ' ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0 ) . ðặt f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Thử lại (2) ta ñược:
a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . Vậy có duy nhất hàm số

f ( x ) = 0 thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3: Tìm f , g : R → R thỏa mãn:
2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R

∀x ∈ R
 f ( x ) g ( x ) ≥ x + 1

(a)
.
(b )

Lời giải:
Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay lại (a) ta ñược:

1

g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : từ (c) ta ñược: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ðặt g ( 0 ) = a ta ñược:

g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Thế vào (a), (b) ta ñược:
2 x + a = 2 x + a
(a), (b) ⇔ 
( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R
2
1
+
+
≥
+
x
a
x
a
x
)(
)
(
2

⇔ ( a − 3 ) ≤ 0 ⇔ a = 3 . Vậ y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 .

Ví dụ 4: ða thức f(x) xác ñịnh với ∀x ∈ ℝ và thỏa mãn ñiều kiện:
2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x).
Lời giải:
Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất: x, 1 – x vế phải là bậc hai x2.
Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ
1

a = 3
3a = 1

2


ðồng nhất các hệ số, ta thu ñược: b − 2a = 0
⇔ b =
3
a + b ...
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP GII PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG
Phương pháp 1
: H s bt ñnh.
Nguyên tc chung:
+) Da vào ñiu kin bài toán, xác ñịnh ñược dng ca f(x), thường f(x) = ax + b hoc
f(x) = ax
2
+ bx + c.
+) ðồng nht h s ñể tìm f(x).
+) Chng minh rng mi h s khác ca f(x) ñều không tha mãn ñiu kin bài toán.
Ví d 1: Tìm
:
f R R
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
, 1
f x f y x xy f x x y R+ = +
.
Li gii:
Thay
1
x
y R
=
vào (18) ta ñược:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
+ = +
.
Thay
(
)
1 1
y f
= −
vào (a) suy ra:
( )
(
)
(
)
1 1 1 1
f f f
+ =
. ðặt
(
)
(
)
1 1 1
a f f
= +
ta
ñược:
(
)
1
f a
= −
.
Chn
y a
x R
=
ta ñược:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f x f a x xa f x xa f x f+ = + + =
.
ðặt
(
)
(
)
0
f b f x a x b
= = − +
. Thế vào (1) và ñồng nht h s ta ñược:
( )
( )
2
1
1
1
0
a
f x x
a
a
a b a a
f x x
b
=
=
=
= −
=
=
=
.
Vy có hai hàm s cn tìm là
(
)
f x x
=
(
)
f x x
= −
.
Ví d 2: Tìm
:
f R R
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, 2
f f x y y f x f y x y R+ =
.
Li gii:
Cho
(
)
(
)
(
)
0; : (2) 0
y x R f f x x R a
= =
.
Cho
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
'
: (2) 0
x f y f f f y y y f a
= + = .
(
)
(
)
(
)
(
)
'
0
a a f y y f+ =
. ðặt
(
)
(
)
0
f a f y ay y R
= =
. Th li (2) ta ñược:
(
)
(
)
2 2 2
0 ,
a x y a y x y x y R
+ + =
(
)
0 0
a f x x R
= =
. Vy có duy nht hàm s
(
)
0
f x
=
tha mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm
, :
f g R R
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2 ,
1
f x g x f y y x y R a
f x g x x x R b
=
+
.
Li gii:
Cho
x y R
=
khi ñó
(
)
(
)
(
)
a f x g x x
=
.Thay li (a) ta ñược:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG - Người đăng: hoahuongduong96
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
30 Vietnamese
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG 9 10 122