Ktl-icon-tai-lieu

Chuyên đề nhị thức Newton và ứng dụng

Được đăng lên bởi Phạm Lê Xuân Vinh
Số trang: 2 trang   |   Lượt xem: 3051 lần   |   Lượt tải: 0 lần
ÔN THI CẤP TỐC ĐẠI HỌC NĂM 2013

giáo viên: Trần Gia Chuân

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
A.LÍ THUYẾT:
1.Các hằng đẳng thức
0
( a + b) = 1

n

k

n

k =0

n

k n−k
0 n
1 n −1
n 0
• ( 1 + x ) = ∑ Cn x =Cn x + Cn x + ... + Cn x
n

k =0
n

k k
0 0
1 1
n n
• ( 1 − x ) = ∑ ( −1) Cn x =Cn x − Cn x + ... + ( −1) Cn x
n

n

n

k =0

...
2.Nhị thức Newton( Niu-tơn)
a.Định lí:

•
n

= Cn0 a n + Cn1a n −1b + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n = ∑ Cnk a n − k b k
k=0

Kết quả:

( x − 1)

n

n

= ∑ ( − 1) Cnk x n− k =Cn0 x n − Cn1 x n −1 + ... + ( − 1) Cnn x 0
k

n

k=0

4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.
a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức
n

mà có

∑C
i =1

*

( a − b)

k =0

n

k
0
1
n
• 0 = ( 1 − 1) = ∑ ( −1) Cn =Cn − Cn + ... + ( −1) Cn

( a + b) = a + b
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
3
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
4
( a + b ) = a 4 + 4a3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4

n

n

•

1

( a + b)

n

2n = ( 1 + 1) = ∑ Cnk =Cnn + Cnn −1 + ... + Cn0

i
n

với i là số tự nhiên liên tiếp.
n

n

n

=  a + ( − b )  = ∑ C a
n

k =0

k
n

n− k

( −b)

k

n

= ∑ ( − 1) C a b
k

k =0

k n− k k
n

n

k
k
0
1
n n
* ( 1 + x ) = ∑ Cn .x = Cn + Cn .x + ... + Cn .x
n

k =0

b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn
n
( a + b) :
-Số các số hạng của công thức là n+1
-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn
bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n
k n−k k
-Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk +1 = Cn a b
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển
n
( a + b) )
-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì
bằng nhau.
n
n
n −1
0
- 2 = Cn + Cn + ... + Cn
- 0 = C − C + ... + ( −1) C
0
n

1
n

n

n
n

k
k −1
k
- Cn = Cn −1 + Cn −1 (Với 1 < k < n)
3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:

b. Trong biểu thức có
hàm ( i ∈ ¥

i =1

)
n

-Trong biểu thức có

∑( i + k ) C
i =1

i
n

i
n

thì ta dùng đạo

thì ta nhân 2 vế với

xk rồi lấy đạo hàm
n

-Trong biểu thức có

∑a C
k

i =1

i
n

thì ta chọn giá trị của

x=a thích hợp.
n

-Trong biểu thức có

1

∑ i −1 C
i =1

i
n

thì ta lấy tích phân

xác định trên [ a; b ] thích hợp.
Nếu bài toán cho khai triển

(x

a

+x

n

i

n

) = ∑C ( x ) ( x ) = ∑C x (

b n

i =1
i
n

i
n

a n −i

b

i =1

i
n

a n −i ) + ib

thì hệ

số của xm là C sap cho phương trình
a ( n − i ) + bi = m có nghiệm i ∈ ¥
Cni đạt MAX khi i =
i=

n
với n chẵn.
2

B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON.
I.Các bài toán về hệ số nhị thức.
1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.
Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thứ...
ÔN THI CẤP TỐC ĐẠI HỌC NĂM 2013 giáo viên: Trần Gia Chuân
CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
A.LÍ THUYẾT:
1.Các hằng đẳng thức
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
2 2
3
3 2 2 3
4
4 3 2 2 3 4
1
2
3 3
4 6 4
...
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
2.Nhị thức Newton( Niu-tơn)
a.Định lí:
( )
0 1 1 1 1
0
...
n
n
n n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C ab C b C a b
=
+ = + + + + =
Kết quả:
*
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1
k
n n
n
n k
k n k k n k k
n n
k k
a b a b C a b C a b
= =
= + = =
*
( )
0 1
0
1 . . ... .
n
n
k k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=
+ = = + + +
b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn
( )
n
a b+
:
-Số các số hạng của công thức là n+1
-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn
bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n
-Số hạng tổng quát của nhị thức là:
1
k n k k
k n
T C a b
+
=
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển
( )
n
a b+
)
-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì
bằng nhau.
-
1 0
2 ...
n n n
n n n
C C C
= + + +
-
( )
0 1
0 ... 1
n
n
n n n
C C C= + +
-
1
1 1
k k k
n n n
C C C
= +
(Với 1 < k < n)
3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:
( )
1 0
0
2 1 1 ...
n
n
n k n n
n n n n
k
C C C C
=
= + = = + + +
( )
0 1 1 0
0
1 ...
n
n
k n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
=
+ = = + + +
( ) ( ) ( )
0 0 1 1
0
1 1 ... 1
n
n n n
k k n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
=
= = + +
( ) ( ) ( )
0 1 1 0
0
1 1 ... 1
n
n k n
k n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
=
= = + +
4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.
a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức
mà có
1
n
i
n
i
C
=
với i là số tự nhiên liên tiếp.
b. Trong biểu thức có
( )
1
1
n
i
n
i
i i C
=
thì ta dùng đạo
hàm
( )
i ¥
-Trong biểu thức có
( )
1
n
i
n
i
i k C
=
+
thì ta nhân 2 vế với
x
k
rồi lấy đạo hàm
-Trong biểu thức có
1
n
k i
n
i
a C
=
thì ta chọn giá trị của
x=a thích hợp.
-Trong biểu thức có
1
1
1
n
i
n
i
C
i
=
thì ta lấy tích phân
xác định trên
[ ]
;a b
thích hợp.
Nếu bài toán cho khai triển
( ) ( ) ( )
( )
1 1
i
n n
n n i
a n i ib
a b i a b i
n n
i i
x x C x x C x
+
= =
+ = =
thì hệ
số của x
m
là C
i
n
sap cho phương trình
( )
a n i bi m + =
có nghiệm
i
¥
i
n
C
đạt MAX khi
1
2
n
i
=
hay
1
2
n
i
+
=
với n lẽ,
2
n
i =
với n chẵn.
B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON.
I.Các bài toán về hệ số nhị thức.
1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.
Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
1 1 ... 1Q x x x x= + + + + + +
Ta được đa thức:
( )
14
0 1 14
...Q x a a x a x= + + +
Xác định hệ số a
9
.
Chuyên đề nhị thức Newton và ứng dụng - Trang 2
Chuyên đề nhị thức Newton và ứng dụng - Người đăng: Phạm Lê Xuân Vinh
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
2 Vietnamese
Chuyên đề nhị thức Newton và ứng dụng 9 10 770