Ktl-icon-tai-lieu

Chuyên đề số chính phương

Được đăng lên bởi Vns Taipro
Số trang: 4 trang   |   Lượt xem: 1185 lần   |   Lượt tải: 0 lần
1. Định nghĩa:
Số nguyên A được gọi là số chính phương ⇔ A = a 2 ( a ∈ Z )
2. Một số tính chất áp dụng khi giải toán:
( A, B ) = 1 và AB là số chính phương thì A, B là số chính phương.
Số chính phương tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9.
Nếu A là số chính phương thì :
A ≡ 1( mod 8 ) nếu
+Còn 1 số tính chất về số dư khi chia cho 5,6 ,7… các bạn có thể tự suy ra
bằng cách đặt số ban đầu là nk+q (Ví dụ 5k+1,5k+2,5k+3…).
Số chính phương không tận cùng bằng 2 số lẻ.
3.Một số cách nhận biết số không chính phương:
A p và A / p 2 (p là số nguyên tố)

B 2 < A < ( B + 1)2 với B ∈ Z
A có chữ số tận cùng là 2,3 ,7 ,8.
4.Một số điều cần lưu ý:
>>>Khi giải các bài toán về số chính phương ta có thể áp dụng phương pháp môđun,
nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho 1 số nguyên nào đó.
Ta xét ví dụ sau:
Tìm k để 4k + 3 = a 2 .
Giả sử 4k + 3 = a 2
⇒ a 2 ≡ 3 (mod 4) (1)
lại có nếu a là số chính phương thì
A ≡ 0,1(mod 4) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ vô lý
Vậy không ∃k để 4k + 3 là số chính phương.
>>> Số chính phương có thể dùng để giải toán về phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ:Tìm a ∈ N * để phương trình sau có nghiệm nguyên:
x 2 + 2ax-3a=0
'
Xét ∆ = a 2 + 3a
Để phương trình có nghiệm nguyên thì a 2 + 3a là số chính phương
Lại có
a 2 < a 2 + 3a < a 2 + 4a + 4
⇒ a 2 < a 2 + 3a < (a + 2) 2
Do đó
a 2 + 3a = a 2 + 2a + 1
⇒ a =1
Với a = 1 phương trình có nghiệm x = 1 hay x = −3.
5. Một số bài tập ví dụ:
Bài 1:Tìm a để 17 a + 8 là số chính phương.
Theo đề bài ∃y ∈ N để 17a + 8 = y 2

⇒ 17(a − 1) = y 2 − 25
⇒ 17(a − 1) = ( y − 5)( y + 5)
 y − 517
⇒
 y + 517
⇒ y = 17 n ± 5
⇒ a = 17n 2 ± 10n + 1
Bài 2:Chứng minh số 3n +63 không chính phương (n ∈ N , n ≠ 0, 4)
Xét n lẻ .Đặt n = 2k + 1.
Có 32 k +1 ≡ (−1)2 k +1 ≡ −1(mod 4)
63 ≡ 3(mod 4)
⇒ 32 k +1 + 63 ≡ 2(mod 4)
⇒ 3n + 63 không chính phương
Xét n chẵn .Đặt n = 2k ( k ≠ 0)
Giả sử 3n + 63 là số chính phương tức là
3n + 63 = y 2 ( y ∈ N * )
⇒ y3
Đặt y = 3t ta có:
32 k + 63 = 9t 2
⇒ 32 k − 2 + 7 = t 2
⇒ t 2 − (3k −1 ) 2 = 7
⇒ (t − 3k −1 )(t + 3k +1 ) = 7
t − 3k −1 = 1
⇒
k +`
t + 3 = 7
⇒ 2.3k −1 = 6
⇒ 3k −1 = 3
⇒k =2
⇒ n = 4 (trái với giả thiết đề bài)
n
Vậy 3 + 63 không là số chính phương ∀n ≠ 0, n ≠ 4 .
Bài 3:Chứng minh rằng phương trình x 2 + y 2 + 1 = z 2 có vô số nghiệm nguyên.
∀n ∈ N * , ta chọn x = 2n 2 ; y = 2n; z = 2n 2 + 1.
Ta có: x 2 + y 2 + 1 = (2n 2 ) 2 + (2n) 2 + 1 = (2n 2 + 1) 2 = z 2
Do đó phương trình có vô số nghiệm
Bài 4:
Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên ( n > 1) .

Chứng minh rằng p − 1 không phải là ...
1. Định nghĩa:
S ngun
A
được gi là s chính phương
(
)
2
AaaZ
=∈
2. Mt s tính cht áp dng khi gii toán:
(
)
,1
AB
=
và
AB
là s chính phương thì
,
AB
là s chính phương.
S chính phương tn cùng bng 0,1,4,5,6,9.
Nếu
A
là s chính phương thì :
(
)
1mod8
A nếu
+Còn 1 snh cht v s dư khi chia cho 5,6 ,7 các bn có th t suy ra
bng cách đặt s ban đầu nk+q (Ví d 5k+1,5k+2,5k+3…).
S chính phương không tn cùng bng 2 s l.
3.Mt s cách nhn biết s không chính phương:
và
2
Ap
/
(p là s nguyên t)
2
B
A
<<
2
(1)
B
+
vi B
Z
A
có ch s tn ng là 2,3 ,7 ,8.
4.Mt s điu cn lưu ý:
>>>Khi gii các bài toán v s chính phương ta có th áp dng phương phápđun,
nghĩa là xét s dư ca các s chính phương khi chia cho 1 s nguyên o đó.
Ta xét ví d sau:
Tìm
k
để
2
43
ka
+=
.
Gi s
2
43
ka
+=
2
a
3
(mod 4) (1)
li có nếu a là s chính phương thì
A
0,1(mod4)
(2)
T (1) và (2)
vô lý
Vy không
k
để
43
k
+
là s chính phương.
>>> S chính phương có th dùng để gii tn v phương trình nghim ngun.
Ví d:Tìm
*
aN
để phương trình sau có nghim ngun:
2
2ax-3a=0
x +
t
'2
3
aa
=+
Để phương trình có nghim nguyên thì
2
3
aa
+
s chính phương
Li có
222
222
344
3(2)
aaaaa
aaaa
<+<++
<+<+
Do đó
22
321
1
aaaa
a
+=++
⇒=
Vi
1
a
=
phương trình nghim
1
x
=
hay
3.
x
=−
5. Mt s bài tp ví d:
Bài 1:Tìm
a
để
178
a
+
là s chính phương.
Theo đề bài
yN
∃∈
để
2
178
ay
+=
Chuyên đề số chính phương - Trang 2
Chuyên đề số chính phương - Người đăng: Vns Taipro
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
4 Vietnamese
Chuyên đề số chính phương 9 10 174