Ktl-icon-tai-lieu

Đạo hàm và vi phân

Được đăng lên bởi 1410402
Số trang: 31 trang   |   Lượt xem: 1199 lần   |   Lượt tải: 0 lần
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 3

Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa:
Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một

r
a
hướng cho bởi vector .

r
Đạo hàm của f theo hướng a tại M0:
f  M 0 
r  lim
t 0
a

r
f  M 0  t.a   f  M 0 
t

r
f  M 0 
chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a
r
a

Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng
r
Xét đường cong L : z  t   f  M 0  ta 
r
f  M 0  t.a   f  M 0 

f  M 0 
r  lim
t 0
a
t
z  t   z  0
 lim
 z  0 
t 0
t

là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M 0.

Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến
r
S : z  f  x, y  , M 0  x0 , y0  , a   a1 , a2 
1. Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0.
r
2. Vẽ đường cong L : z  t   f  M 0  ta 
x  x0  ta1 , y  y0  ta2 , z  f  x0  ta1 , y0  ta2 
3. Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi
r
u   a1 , a2 , z   0  
qua M0 và nhận
làm vector
chỉ phương.

Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng)

r
Nếu hàm f khả vi tại M0, e   e1, e2 
là
r
e
vector đơn vị, đạo hàm theo hướng tại M tồn tại,
0

khi đó:
f  M 0  f  M 0 
f  M 0 
r 
e1 
e2
x
y
e
Hàm 3 biến cũng được tính tương tự.

Công thức tổng quát
r
a là vector tùy ý:
f  M 0  f  M 0  a1 f  M 0  a2
r 
r 
r
a
x
a
y
a
(hàm 2 biến)
f  M 0  f  M 0  a1 f  M 0  a2 f  M 0  a3
r 
r 
r 
r
a
x
a
y
a
z
a
(hàm 3 biến)

Ví dụ
1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox
tại điểm (-2,1) của hàm số
2

2

f ( x, y )  xy  2 x y
Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là:
r
e   1,0 
f  2,1
 f x  2,1 .1  f y  2,1 .0
r
e
 9 .1 12 .0  9

r
2. Tìm đạo hàm theo hướng a   1,1, 1 tại
f  x, y, z   x 2  2 xz  3 y 2 z 3

M   2,1,2  của
r
a
1
 1,1, 1   e1, e2 , e3 
r 
a
3

f  M 
r  f x  M  .e1  f y  M  .e2  f z  M  .e3
a
1
1
1
15

 0.
 6.
  9  .   
3
3
3
3


r r r
Gọi i , j , k

 

Vector Gradient
là các vector đơn vị trên các

trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại
M 0  x0 , y0  . Gradient của f tại M là:
0



f  M 0   grad  M 0   f x  M 0  , f y  M 0 



r
r
 f x  M 0  .i  f y  M 0  . j

Liên hệ
f  M 0  f  M 0 
f  M 0 
r
e1 
e2   f  M 0  , e 
r 
e
x
y
f  M 0 
r
r  f  M 0  . e .cos   f  M 0  .cos 
e

 là góc giữa
f  M 0 
r
e

gradf  M 0 

r
&e

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:
cos   1    0

Tổng quát
Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f
tăng nhanh nhất.
f  M 0 
r
a

r

a
  f  M 0  , r 
a


Ví ...
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 3
Đạo hàm và vi phân - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Đạo hàm và vi phân - Người đăng: 1410402
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
31 Vietnamese
Đạo hàm và vi phân 9 10 148