Ktl-icon-tai-lieu

Dãy số - giới hạn

Được đăng lên bởi Nguyen Hong Phat
Số trang: 11 trang   |   Lượt xem: 1872 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Pco_dãy số và giới hạn
1

 Tìm giới hạn L = lim(2004.4 n − 2003) n
n →∞

Giải: Lấy loganeper ta được
1

1

n ln(2004.4 n − 2003) = n ln(1 + 2004(4 n − 1))
1

Vậy lim n ln(2004.4 n − 2003) = lim 2004n(e
n →+∞

n →+∞

ln 4
n

− 1) = 2004 ln 4

Từ đó suy ra L = 42004 .
 Tìm công thức tổng quát của an được xác định như sau
 a1 = a2 = 1

 a2 n +1 = 2a2 n + 1
a
 2 n + 2 = a1 + ... + a2 n +1
Giải: Ta có a2 n + 2 =

2 n +1

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

∑ ak = a1 + ∑ (a2k + a2k +1 ) = 1 + ∑ (3a2k + 1) = n + 1 + 3∑ a2 k

n

Đặt sn = ∑ a2 k thì hệ đã cho trở thành
k =1

 s1 = 1

 sn +1 − sn = n + 1 + 3sn
Từ hệ này ta tìm được sn +1 = 4 sn + (n + 1)
3n + 4
16
Đặt tn = sn +
thì ta có t1 = , tn +1 = 4tn .
9
9
n +1
n +1
4
4 − 3n − 4
4n +1 − 4 n − 3
Vậy tn =
và a2 n = sn − sn −1 =
.
, sn =
9
9
9
4n − 1
2.4n + 1
Suy ra a2 n =
và a2 n +1 = 2a2 n + 1 =
.
3
3
2n − (−1) n
Do đó an =
.
3
 Cho hai dãy ( xn ), ( yn ) xác định như sau
 xn +1 = 4 xn − xn −1 , x0 = 0, x1 = 1

 yn +1 = 4 yn − yn −1 , y0 = 1, y1 = 2
2
2
Chứng minh rằng yn = 3xn + 1 với mọi n.
Giải: Từ hệ đã cho ta tìm được
xn = a (2 + 3) n + b(2 − 3) n với a,b,nào đó
yn = c(2 + 3) n + d (2 − 3) n với c, d nào đó
2
2
Vậy yn − 3xn = (c 2 − 3a 2 )(7 + 4 3) n + (d 2 − 3b 2 )(7 − 4 3) n + 2cd − 6ab

2
2
Đặt un = yn − 3 xn và vn = un + 6ab − 2cd thì ta có vn + 2 = 14vn+1 − vn do đó
un + 2 = 14un +1 − un + e với số thực e nào đó.

 x0 = 0, x1 = 1, x2 = 4
Từ 
ta tìm được u0 = 1, u1 = 1, u2 = 1 , e = −12 và dãy un được
 y0 = 1, y1 = 2, y2 = 7
xác định như sau
u0 = u1 = 1

un + 2 = 14un +1 − un − 12

Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chỉ ra rằng un = 1, ∀n và từ đó ta có điều phải
chứng minh.
 Hai dãy xn , yn được xác định như sau
 x1 = 2, y1 = 1

2
 xn +1 = xn + 1
y = x y
n n
 n +1
xn 651
<
Chứng minh rằng
.
yn 250
n +1
xn +1 xn
1
1
=
+
= 2+∑
Giải: Ta có
yn +1 yn yn +1
k = 2 yk
+∞
+∞
1 651
1
151
2+∑ <
⇔S =∑ k
<
Như vậy ta cần chứng minh rằng
250
250
k = 2 yk
k =1
∏ xi
i =1

+∞

1

k =1

a2

Với a > 1 , đặt f ( a) = ∑

k

.
+∞

Vì xn +1 > x nên xn + k ≥ x

2k
n

2
n

∑
và chúng ta có thể viết
k =1

1

∏x
i =1

p

Vậy

S <∑
k =1

1
k

∏ xi
i =1

+

< xn f ( xn )

k

n + i −1

x p +1 f ( x p +1 )
p

∏x

i

i =1

Mặt khác với a > 1 ta dễ dàng chỉ ra rằng
+∞
+∞
+∞
x
1
2k ln 2
1
f (a ) = ∑ 2k < ∑ 2k < ∫ 2 x ln 2a −2 dx =
0
a ln a
a
k =1 a
k =1
p
1
1
S <∑ k
+
1
p
Hay af (a ) <
, vậy thì
(*)
k =1
xi ln x p +1 ∏ xi
ln a
∏
i =1

i =1

4

Với p = 4 thì bất đẳng thức (*) trở thành

S <∑
k =1

1
k

∏ xi
i =...
Pco_dãy số và giới hạn
Tìm giới hạn
1
lim(2004.4 2003)
n
n
n
L
=
Giải: Lấy loganeper ta được
1
ln(2004.4 2003)
n
n
1
ln(1 2004(4 1))
n
n= +
Vậy
1 ln4
lim ln(2004.4 2003) lim 2004 ( 1) 2004ln 4
n n
n n
n n e
+∞ +∞
= =
Từ đó suy ra
2004
4L =
.
Tìm công thức tổng quát của
n
a
được xác định như sau
1 2
2 1 2
2 2 1 2 1
1
2 1
...
n n
n n
a a
a a
a a a
+
+ +
= =
= +
= + +
Giải: Ta có
2 1
2 2 1 2 2 1 2 2
1 1 1 1
( ) 1 (3 1) 1 3
n n n n
n k k k k k
k k k k
a a a a a a n a
+
+ +
= = = =
= = + + = + + = + +
Đặt
2
1
n
n k
k
s a
=
=
thì hệ đã cho trở thành
1
1
1
1 3
n n n
s
s s n s
+
=
= + +
Từ hệ này ta tìm được
Đặt
3 4
9
n n
n
t s
+
= +
thì ta có
1
16
9
t =
,
1
4
n n
t t
+
=
.
Vậy
1 1
4 4 3 4
,
9 9
n n
n n
n
t s
+ +
= =
1
2 1
4 4 3
9
n n
n n n
a s s
+
= =
.
Suy ra
2
4 1
3
n
n
a
=
2 1 2
2.4 1
2 1
3
n
n n
a a
+
+
= + =
.
Do đó
2 ( 1)
3
n n
n
a
=
.
Cho hai dãy
( ),( )
n n
x y
xác định như sau
1 1 0 1
1 1 0 1
4 , 0, 1
4 , 1, 2
n n n
n n n
x x x x x
y y y y y
+
+
= = =
= = =
Chứng minh rằng
2 2
3 1
n n
y x= +
với mọi n.
Giải: Từ hệ đã cho ta tìm được
(2 3) (2 3)
n n
n
x a b= + +
với a,b,nào đó
(2 3) (2 3)
n n
n
y c d= + +
với
,c d
nào đó
Vậy
2 2 2 2 2 2
3 ( 3 )(7 4 3) ( 3 )(7 4 3) 2 6
n n
n n
y x c a d b cd ab = + + +
Dãy số - giới hạn - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Dãy số - giới hạn - Người đăng: Nguyen Hong Phat
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
11 Vietnamese
Dãy số - giới hạn 9 10 236