Ktl-icon-tai-lieu

không gian metric

Được đăng lên bởi Duc Phong Nguyen
Số trang: 48 trang   |   Lượt xem: 1509 lần   |   Lượt tải: 7 lần
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 1. Không gian metric
§1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ.
Không gian đầy đủ
Phiên bản đã chỉnh sửa

PGS TS Nguyễn Bích Huy
(Typing by thuantd )

Ngày 10 tháng 11 năm 2004

A.
1.

Tóm tắt lý thuyết
Không gian metric

Định nghĩa 1. Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R được gọi là một metric trên
X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X:
i. d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii. d(x, y) = d(y, x)
iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác)
Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) gọi là một không gian metric.
Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau
|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác)
Ví dụ 1. Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định bởi
1/2

m
2

(xi − yi )

d(x, y) =

,

x = (x1 , . . . , xm ), y = (y1 , . . . , ym )

i=1

1

là một metric trên Rm , gọi là metric thông thường của Rm .
Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y|
Trên Rm ta cũng có các metric khác như
m

|xi − yi |

d1 (x, y) =
i=1

d2 (x, y) = max |xi − yi |
1≤i≤m

Ví dụ 2. Ký hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b]. Ánh xạ
d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|,

x, y ∈ C[a,b]

a≤t≤b

là metric trên C[a,b] , gọi là metric hội tụ đều.

2.

Sự hội tụ

Định nghĩa 2. Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ
theo metric d, nếu cần làm rõ) về phần tử x ∈ X nếu lim d(xn , x) = 0.
n→∞

Khi đó ta viết
lim xn = x trong (X, d)

n→∞

d

xn → x
xn → x
lim xn = x
Như vậy, lim xn = x trong (X, d) có nghĩa
n→∞

∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ε
Ta chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau.
Tính chất
1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
2. Nếu dãy {xn } hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.
3. Nếu lim xn = x, lim yn = y thì lim d(xn , yn ) = d(x, y)
n→∞

n→∞

n→∞

Ví dụ 3. Trong Rm ta xét metric thông thường. Xét phần tử a = (a1 , . . . , am ) và dãy {xn } với
xn = (xn , . . . , xn ). Ta có
1
m
m

(xn − ai )2 ≥ |xn − ai |,
i
i

d(xn , a) =
i=1

2

∀i = 1, . . . , m

Từ đây suy ra:
lim xn = a trong (Rm , d) ⇐⇒ lim xn = ai trong R, ∀i = 1, . . . , n
i

n→∞

n→∞

Ví dụ 4. Trong C[a,b] ta xét "metric hội tụ đều". Ta có
d

xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε)
a≤t≤b

⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t)
=⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b]
n→∞

Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] là điều kiện cần để lim xn = x trong C[a,b] với metric
n→∞

hội tụ đều.
Chú ý này giúp ta dự đo...
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Nếu xem trực tuyến bị lỗi, bạn có thể tải về máy để xem.

In_giao
In tài liệu
không gian metric - Người đăng: Duc Phong Nguyen
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
48 Vietnamese
không gian metric 9 10 765