Ktl-icon-tai-lieu

MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

Được đăng lên bởi HK Nguyen
Số trang: 26 trang   |   Lượt xem: 1623 lần   |   Lượt tải: 1 lần
MỘT KỸ THUẬT NHỎ
ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY-SCHWARZ
Võ Quốc Bá Cẩn

Thông thường khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (tham khảo
ở [1]) để chứng minh các bất đẳng thức đối xứng (hoặc hoán vị), ta luôn
cố gắng đánh giá sao cho tính đối xứng (hoặc hoán vị) của chúng vẫn
được giữ nguyên sau bước đánh giá, rồi từ đó tiếp tục đánh giá tiếp để
hoàn tất phép chứng minh. Tuy nhiên, không phải lúc nào những cách
đánh giá như thế cũng mang lại hiệu quả cao nhất mà đôi lúc chúng còn
“hoặc không đưa ta đến kết quả, hoặc quá rườm rà, phức tạp”.
Vậy, liệu còn có cách nào khác tốt hơn khi ta “lỡ” xui xẻo gặp phải những
trường hợp như thế không? Thật ra, còn một cách đánh giá CauchySchwarz cũng khá hiệu quả đối với các bất đẳng thức loại này, đó là sử
dụng yếu tố “ít nhất”. Một cái tên nghe thật lạ!
Tuy nhiên, ẩn đằng sau cái tên lạ mắt này là một kỹ thuật độc đáo và
thú vị. Và dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về nó. Trước hết, ta hãy
cùng xem xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 1 (Iranian IMO TST, 2009). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a2

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
+ b + 2 b + c + 2 c + a2 + 2

3
.
4

Phân tích và tìm tòi lời giải. Sử dụng ý tưởng của kỹ thuật thêm bớt
(tham khảo thêm ở [1]), ta có thể viết lại bất đẳng thức thành
1
1
− 2
2 a + b2 + 2

+

1
1
− 2
2 b + c2 + 2

+

1
1
− 2
2 c + a2 + 2

tương đương
a2 + b 2
b2 + c 2
c 2 + a2
+
+
a2 + b 2 + 2 b 2 + c 2 + 2 c 2 + a2 + 2
73

3
.
2

3
,
4

74

Các phương pháp giải Toán qua các kỳ thi Olympic

Đến đây, nếu áp dụng Cauchy-Schwarz theo kiểu thông thường
b2 + c 2
c2 + a2
a2 + b 2
+
+
a2 + b 2 + 2 b 2 + c 2 + 2 c 2 + a2 + 2
2
[(a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 )]
,
(a2 + b2 )(a2 + b2 + 2)
thì ta sẽ phải chứng minh
2

4(a2 + b2 + c2 )
(a2 + b2 )2 + (b2 + c2 )2 + (c2 + a2 )2 + 4(a2 + b2 + c2 )

3
.
2

Nếu quy đồng lên, ta được một bất đẳng thức bậc 4 khá phức tạp, hơn
nữa ta lại cũng chưa biết được tính đúng sai của nó. Trong điều kiện thời
gian hạn hẹp ở phòng thi (chú ý rằng đây là một bài toán trong đề thi
chọn đội tuyển của Iran), nếu tốn nhiều thời gian vào một bài toán phức
tạp (ở đây là bất đẳng thức thu được sau đánh giá) và có thể bài toán
đó sai thì thật là không nên. Vì vậy cách đánh giá Cauchy-Schwarz như
trên thật sự không khả thi, ta cần một kiểu đánh giá khác.
Nhận thấy đánh giá trên có nhược điểm là tạo ra bậc cao, ta cố gắng tìm
một đánh giá khác để tránh bậc cao, và đánh giá mà ta nghĩ đến là
b2 + c 2
c 2 + a2
a2 + b 2
+
+
a2 + b 2 + 2 b 2 + c 2 + 2 c 2 + a2 ...
MỘT KỸ THUT NHỎ
ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY-SCHWARZ
Võ Quốc Cẩn
Thông thường khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (tham khảo
[1]) để chứng minh các bất đẳng thức đối xứng (hoặc hoán vị), ta luôn
cố gắng đánh giá sao cho tính đối xứng (hoặc hoán vị) của chúng vẫn
được giữ nguyên sau bước đánh giá, rồi từ đó tiếp tục đánh giá tiếp để
hoàn tất phép chứng minh. Tuy nhiên, không phải lúc nào những cách
đánh giá như thế cũng mang lại hiệu quả cao nhất đôi lúc chúng còn
hoặc không đưa ta đến kết quả, hoặc quá rườm rà, phức tạp”.
Vy, liệu còn cách nào khác tốt hơn khi ta lỡ” xui xẻo gặp phải những
trường hợp như thế không? Thật ra, còn một cách đánh giá Cauchy-
Schwarz cũng khá hiệu quả đối với các bất đẳng thức loại này, đó sử
dụng yếu tố ít nhất”. Một cái tên nghe thật lạ!
Tuy nhiên, ẩn đằng sau cái tên lạ mắt y một kỹ thuật độc đáo và
thú vị. Và dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu v nó. Trước hết, ta y
cùng xem xét dụ sau đây.
dụ 1 (Iranian IMO TST, 2009). Cho a, b, c các số dương thỏa mãn
điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng
1
a
2
+ b
2
+ 2
+
1
b
2
+ c
2
+ 2
+
1
c
2
+ a
2
+ 2
3
4
.
Phân tích tìm tòi lời giải. Sử dụng ý tưởng của kỹ thuật thêm bớt
(tham khảo thêm [1]), ta thể viết lại bất đẳng thức thành
1
2
1
a
2
+ b
2
+ 2
+
1
2
1
b
2
+ c
2
+ 2
+
1
2
1
c
2
+ a
2
+ 2
3
4
,
tương đương
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
+ 2
+
b
2
+ c
2
b
2
+ c
2
+ 2
+
c
2
+ a
2
c
2
+ a
2
+ 2
3
2
.
73
MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ - Người đăng: HK Nguyen
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
26 Vietnamese
MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 9 10 143