Ktl-icon-tai-lieu

Toán cao cấp

Được đăng lên bởi hoc-anh-van
Số trang: 35 trang   |   Lượt xem: 766 lần   |   Lượt tải: 0 lần
- ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH

BÀI TÂP VỀ HÀM SỐ VỚI BA VẤN ĐỀ
LIÊN TỤC, KHẢ VI, KHẢ TÍCH
1
2

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số u ( x ) thỏa mãn u ( x ) = x + ∫ u ( t ) dt .
0

Giải
1
2

Vì ∫ u ( t ) dt là một hằng số nên u ( x ) = x + C

(C là hằng số).

0

1
2

Do đó

t

2



1 C
1
=C ⇔ + =C ⇔C = .
8 2
4
0

∫ ( t + C ) dt = C ⇔  2 + Ct 
0



1
2

1
là hàm số cần tìm.
4
Bài 2. Cho hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x + 19 ) ≤ f ( x ) + 19 và
f ( x + 94 ) ≥ f ( x ) + 94 với mọi x. Chứng minh rằng: f ( x + 1) = f ( x ) + 1 với
mọi x ∈ ℝ .
Giải
Lấy một số thực x bất kỳ. Áp dụng điều kiện ban đề cho với x − 19 và
x − 94 ta thu được:
f ( x − 19 ) ≥ f ( x ) − 19 và f ( x − 94 ) ≤ f ( x ) − 94 .
Bây giờ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp với mọi n ∈ ℕ
f ( x + 19n ) ≤ f ( x ) + 19n , f ( x + 94n ) ≥ f ( x ) + 94n

Vậy u ( x ) = x +

f ( x − 19n ) ≥ f ( x ) − 19n , f ( x − 94n ) ≤ f ( x ) − 94n .
Ta có:
f ( x + 1) = f ( x + 5.19 − 94 ) ≤ f ( x + 5.19 ) − 94 ≤ f ( x ) + 5.19 − 94 = f ( x ) + 1
f ( x + 1) = f ( x + 18.94 − 89.19 ) ≥ f ( x + 18.94 ) − 89.19 ≥
≥ f ( x ) + 18.94 − 89.19 = f ( x ) + 1 .
Vậy f ( x + 1) = f ( x ) +1 ∀∈ ℝ .
Bài 3. Cho f : ℝ → ℝ là hàm khả vi cấp hai với đạo hàm cấp 2 dương.
Chứng minh rằng: f ( x + f ′ ( x ) ) ≥ f ( x ) với mọi số thực x.
Giải
+ Nếu f ′ ( x ) = 0 thì f ( x + f ′ ( x ) ) = f ( x ) với mọi x : hiển nhiên.
+ Nếu f ′ ( x ) < 0 thì áp dụng định lý Lagrange trên đoạn  x + f ′ ( x ) ; x  ta
được: f ( x ) − f ( x + f ′ ( x ) ) = f ′ ( c ) ( − f ′ ( x ) ) , c ∈ ( x + f ′ ( x ) ; x ) .

VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – 

1

 - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH

f ′′ ( x ) > 0 ⇒ f ′ là hàm tăng ⇒ f ′ ( c ) < f ′ ( x ) < 0 . Vì vậy

f ( x ) − f ( x + f ′( x )) < 0 .

+ Nếu f ′ ( x ) > 0 thì chứng minh tương tự như trường hợp f ′ ( x ) < 0 ta cũng

thu được f ( x ) − f ( x + f ′ ( x ) ) < 0 .

Bài 4 Cho x ≥ 2 , chứng minh ( x + 1) cos
Giải

π
x +1

− x cos

π
x

> 1.

π

Xét hàm số: f : [ 2; ∞ ) → ℝ , f ( t ) = t cos .
t
Áp dụng định lý Lagrange trên đoạn [ x; x + 1] đối với hàm f ( t )

tồn tại u ∈ [ x; x + 1] : f ′ ( u ) =
Cần chứng minh f ′ ( u ) = cos

π2

π

f ( x + 1) − f ( x )
= f ( x + 1) − f ( x )
( x + 1) − x

π

u

+

π

u

sin

π

u

> 1 ∀u ∈ [ 2; +∞ ) .

< 0 ∀u ∈ [ 2; +∞ ) ⇒ f ′ nghịch biến trên [ 2;+∞ )
u3
u
f ′ ( u ) > lim f ′ ( u ) = 1 .
f ′′ ( u ) = −

cos

u →∞

π
π
− x cos > 1 ∀x ∈ [ 2; +∞ ) .
x...
www.MATHVN.com
- ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUC phn GII TÍCH
VĂN PHÚ QUC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUNG NAM – WWW.MATHVN.COM
1
BÀI TÂP V HÀM S VI BA VN ĐỀ
LIÊN TC, KH VI, KH TÍCH
i 1. Tìm tt c các hàm s
(
)
u x
thỏ
a
n
( ) ( )
1
2
0
u x x u t dt
= +
.
Giải
( )
1
2
0
u t dt
mt hng snên
(
)
u x x C
(C
hng s).
Do đó
( )
1
1
2
2
2
0
0
1 1
2 8 2 4
t C
t C dt C Ct C C C
+ = + = + = =
.
V
y
( )
1
4
u x x
= +
là hà
m s
c
n
m.
i 2.
Cho
m s
:
f
thỏ
a
n
đ
i
u ki
n:
(
)
(
)
19 19
f x f x
+ +
(
)
(
)
94 94
f x f x
+ +
v
i
m
i x. Ch
ng minh r
ng:
(
)
(
)
1 1
f x f x
+ = +
v
i
mọ
i
x
.
Giải
L
y m
t s
th
c x b
t
kỳ
.
Á
p
dụ
ng
đ
i
u ki
n ban
đề
cho v
i
19
x
94
x
ta thu
đượ
c:
(
)
(
)
19 19
f x f x
(
)
(
)
94 94
f x f x
.
Bây gita dng chng minh bng quy nạp vi mi
n
(
)
(
)
19 19
f x n f x n
+ +
,
(
)
(
)
94 94
f x n f x n
+ +
(
)
(
)
19 19
f x n f x n
,
(
)
(
)
94 94
f x n f x n
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 5.19 94 5.19 94 5.19 94 1
f x f x f x f x f x
+ = + + + = +
(
)
(
)
(
)
1 18.94 89.19 18.94 89.19
f x f x f x
+ = + +
(
)
(
)
18.94 89.19 1
f x f x
+ = +
.
Vy
(
)
(
)
1 +1 f x f x
+ =
.
i 3. Cho
:
f
là hàm khả vi cp hai vi đạo m cp 2 dương.
Chng minh rng:
(
)
(
)
(
)
f x f x f x
+
vi mi sthc x.
Giải
+ Nếu
(
)
0
f x
=
thì
(
)
(
)
(
)
f x f x f x
+ =
vi mọi x : hin nhiên.
+ Nếu
(
)
0
f x
<
thì áp dụng đnh Lagrange trên đoạn
(
)
;
x f x x
+
ta
được:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x f x f x f c f x
+ =
,
(
)
(
)
;
c x f x x
+
.
Toán cao cấp - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Toán cao cấp - Người đăng: hoc-anh-van
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
35 Vietnamese
Toán cao cấp 9 10 550