Ktl-icon-tai-lieu

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Được đăng lên bởi angelboy923
Số trang: 9 trang   |   Lượt xem: 533 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn với nhiều bạn trẻ. Nói đến bất
đẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số mà ở
đó có nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh.Bài viết sau đây sẽ trình bày một kĩ
thuật nhỏ nhưng khá hữu ích trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz để
chứng minh các bất đẳng thức.Nhằm giúp bạn đọc hiểu rõ hơn ý tưởng và cách tiếp
cận mỗi bài toán bất đẳng thức thì đối với mỗi bài toán tôi đều phân tích hướng tiếp
cận, sau đó nêu ý tưởng làm bài và cuối cùng là lời giải chi tiết cho bài toán đó, ở
đây chúng ta xét với bất đẳng thức ba biến, đối với các bất đẳng thức nhiều biến hơn
chúng ta làm tương tự. Hi vọng bài viết sẽ hữu ích cho nhiều bạn đọc.
Bài viết đã được xem xét kĩ nhưng cũng khó tránh khỏi thiếu sót.Mọi ý kiến đóng góp
cho bài viết thêm phong phú và hoàn thiện hơn xin gửi về địa chỉ: hoangquan9@gmail.com.
Hà Nội, ngày 25 tháng 3 năm 2012
Người viết
Hoàng Minh Quân

Hoàng Minh Quân

1

THPT Ngọc Tảo-Hà Nội

I.Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel.
Giả sử a1 , a2 , ..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 , ..., bn là các số thực dương.Khi đó , ta
luôn có:
a21 a22
a2
(a1 + a2 + ... + an )2
+
+ ... + n ≥
(∗)
b1
b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
a1
a2
an
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=
= ... =
b1
b2
bn
Chứng minh
Trước hết chúng ta chứng minh bất đẳng thức đơn giản sau:
Cho a, b, x, y là các số thực và x, y > 0.Khi đó:
a2 b2
(a + b)2
+
≥
x
y
x+y

(1)

Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành
a2 y(x + y) + b2 x(x + y) ≥ (a + b)2 xy ⇔ (ay − bx)2 ≥ 0
(Luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a
b
= . Vậy bất đẳng thức (1) được
x
y

chứng minh.
Với 6 số a, b, c, x, y, z và x, y, z > 0.Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần ta có:
a2 b2 c2
(a + b)2 c2
(a + b + c)2
+ +
≥
+
≥
x
y
z
x+y
z
x+y+z
Do đó bằng phép quy nạp toán học với a1 , a2 , ..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 , ..., bn là
các số thực dương.Khi đó , ta luôn có:
a21 a22
a2n
(a1 + a2 + ... + an )2
+
+ ... +
≥
b1
b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(∗)

a1
a2
an
=
= ... =
b1
b2
bn

II.Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel vào các bài toán
điển hình
Bài toán 1 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≥ 3.Chứng minh
rằng:
y2
3
x2
z2
√ +
√ +
√ ≥
x + yz y + zx z + xy
2
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thứ...
Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Nội
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức một chủ đề đa dạng và hấp dẫn với nhiều bạn trẻ. Nói đến bất
đẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số
đó nhiều thuật để khai thác và chứng minh.Bài viết sau đây sẽ trình y một
thuật nhỏ nhưng khá hữu ích trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz để
chứng minh các bất đẳng thức.Nhằm giúp bạn đọc hiểu hơn ý tưởng và cách tiếp
cận mỗi bài toán bất đẳng thức thì đối với mỗi bài toán tôi đều phân tích hướng tiếp
cận, sau đó nêu ý tưởng làm bài và cuối cùng lời giải chi tiết cho bài toán đó,
đây chúng ta xét với bất đẳng thức ba biến, đối với các bất đẳng thức nhiều biến hơn
chúng ta làm tương tự. Hi vọng bài viết sẽ hữu ích cho nhiều bạn đọc.
Bài viết đã được xem xét nhưng cũng khó tránh khỏi thiếu sót.Mọi ý kiến đóng góp
cho bài viết thêm phong phú và hoàn thiện hơn xin gửi về địa chỉ: hoangquan9@gmail.com.
Nội, ngày 25 tháng 3 năm 2012
Người viết
Hoàng Minh Quân
Hoàng Minh Quân 1 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC - Người đăng: angelboy923
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
9 Vietnamese
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 9 10 993