Ktl-icon-tai-lieu

Xung quanh đại lượng ab, bc, ca

Được đăng lên bởi dinhtrung11a1
Số trang: 7 trang   |   Lượt xem: 481 lần   |   Lượt tải: 0 lần
XUNG QUANH ĐẠI LƯỢNG A − B, B − C, C − A
Phan Đình Trung
Lớp 12A1 - trường THPT Tân Hưng
Nhận xét chung: Khi đứng trước các bài toán bất đẳng thức ở dạng hoán vị
hoặc đối xứng, một ý tưởng hiển nhiên là ta sẽ liên tưởng tới nhận xét: "Mọi
đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn dưới dạng đối xứng cơ sở ". Cụ thể là với
đa thức hoán vị vòng quanh f (a, b, c) thì ta có:
f (a, b, c) =

1
1
[f (a, b, c) + f (c, b, a)] + [f (a, b, c) − f (c, b, a)]
2
2

Khi đó đại lượng f (a, b, c) − f (c, b, a) có thể phân tích thành các đại lượng theo
a − b, b − c, c − a. Đồng thời, khi vai trò các biến như nhau, ta hoàn toàn có thể
giả sử a = min{a, b, c} hoặc a = max{a, b, c} hoặc a ≥ b ≥ c. Từ đó tìm hướng
tiếp cận cụ thể cho bài toán.
Bài toán 1:(Trần Nam Dũng, VMO 2008) Cho a, b, c là các số thực không
âm đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
1
1
4
1
+
+
≥
(b − c)2
(c − a)2
(a − b)2
ab + bc + ca
Lời giải:
Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử c = min{a, b, c}. Ta nhận thấy:
(a − c)2 + (b − c)2 = (a − b)2 + 2(a − c)(b − c)
Suy ra:
1
1
1
1
(a − c)2 + (b − c)2
+
+
=
+
(b − c)2
(c − a)2
(a − b)2
(a − b)2
(a − b)2 (b − c)2
1
(a − b)2
2
=
+
+
2
2
2
(a − b)
(b − c) (a − c)
(a − c)(b − c)
2
2
4
≥
+
=
(a − c)(b − c) (a − c)(b − c)
(a − c)(b − c)
Mặt khác, do c = min{a, b, c} nên:
c(2a + 2b − c) ≥ 0 ⇒

4
4
≥
(a − c)(b − c)
ab + bc + ca

Từ đó ta có đpcm.
Cách khác:
Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c ≥ 0. Đặt x = a − b, y = b − c Khi
đó, x, y > 0 và:
ab + bc + ca ≥ ab = (c + y)(c + x + y) ≥ y(x + y)

1

Theo đó, ta lui về chứng minh một kết quả mạnh hơn:
1
1
1
4
+ 2+
≥
x2
y
(x + y)2
y(x + y)
1
1
1
≥4
⇔ y(x + y) 2 + 2 +
x
y
(x + y)2
y
y
x
y
⇔
1+
+ +
≥3
x
x
y
x+y
Đặt t =

x
, lúc này ta cần chứng minh:
y
1
t+1
+t+
≥3
2
t
t+1

Bất đẳng thức này tương đương với:
t2 − t − 1)2
≥0
t2 (t + 1)
Đây là một kết quả hiển nhiên. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực phân biệt. Chứng minh rằng:
(a − b)4 + (b − c)4 + (c − a)4

1
1
1
297
+
+
≥
(a − b)4
(b − c)4
(c − a)4
8

Lời giải:
Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử a ≥ b ≥ c.
Đặt x = a − b, y = b − c. Khi đó ta có x, y ≥ 0 và c − a = −x − y. Bất đẳng
thức cần chứng minh tương đương với:
x4 + y 4 + (x + y)4

1
1
297
1
+ 4+
≥
4
4
x
y
(x + y)
8

Tới đây, ta có đánh giá:
x4 + y 4 ≥
và

(x + y)4
8

1
1
32
+ 4 ≥
x4
y
(x + y)4

Suy ra:
x4 + y 4 + (x + y)4

1
1
1
(x + y)4
+
+
≥
+ (x + y)4
x4
y4
(x + y)4
8

32
1
297
+
=
(x + y)4
(x + y)4
8

Phép chứng minh hoàn tất.
Bài toán 3: (Trần Quốc Anh) Cho a, b, c là...
XUNG QUANH ĐẠI LƯỢNG A B, B C, C A
Phan Đình Trung
Lớp 12A1 - trường THPT Tân Hưng
Nhận xét chung: Khi đứng trước các bài toán bất đẳng thức dạng hoán vị
hoặc đối xứng, một ý tưởng hiển nhiên ta sẽ liên tưởng tới nhận xét: "Mọi
đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn dưới dạng đối xứng cơ sở ". Cụ thể với
đa thức hoán vị vòng quanh f(a, b, c) thì ta có:
f(a, b, c) =
1
2
[f(a, b, c) + f(c, b, a)] +
1
2
[f(a, b, c) f(c, b, a)]
Khi đó đại lượng f(a, b, c) f(c, b, a) thể phân tích thành các đại lượng theo
a b, b c, c a. Đồng thời, khi vai trò các biến như nhau, ta hoàn toàn thể
giả sử a = min{a, b, c} hoặc a = max{a, b, c} hoặc a b c. Từ đó tìm hướng
tiếp cận cụ thể cho bài toán.
Bài toán 1:(Trần Nam Dũng, VMO 2008) Cho a, b, c các số thực không
âm đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
1
(b c)
2
+
1
(c a)
2
+
1
(a b)
2
4
ab + bc + ca
Lời giải:
Không giảm tính tổng quát, ta thể giả sử c = min{a, b, c}. Ta nhận thấy:
(a c)
2
+ (b c)
2
= (a b)
2
+ 2(a c)(b c)
Suy ra:
1
(b c)
2
+
1
(c a)
2
+
1
(a b)
2
=
1
(a b)
2
+
(a c)
2
+ (b c)
2
(a b)
2
(b c)
2
=
1
(a b)
2
+
(a b)
2
(b c)
2
(a c)
2
+
2
(a c)(b c)
2
(a c)(b c)
+
2
(a c)(b c)
=
4
(a c)(b c)
Mặt khác, do c = min{a, b, c} nên:
c(2a + 2b c) 0
4
(a c)(b c)
4
ab + bc + ca
Từ đó ta đpcm.
Cách khác:
Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c 0. Đặt x = a b, y = b c Khi
đó, x, y > 0 và:
ab + bc + ca ab = (c + y)(c + x + y) y(x + y)
1
Xung quanh đại lượng ab, bc, ca - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Xung quanh đại lượng ab, bc, ca - Người đăng: dinhtrung11a1
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
7 Vietnamese
Xung quanh đại lượng ab, bc, ca 9 10 475