Ktl-icon-tai-lieu

Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu

Được đăng lên bởi mau-don-van-ban
Số trang: 5 trang   |   Lượt xem: 3825 lần   |   Lượt tải: 3 lần
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên
Ngày 10 tháng 12 năm 2004

Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến
Đồng Cấu
Để xử lí các bài tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu và các kết quả
cơ bản liên quan tới đồng cấu
Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu:
"Cho X, Y là các nhóm. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi x1 , x2 ∈ X
thì f (x1 .x2 ) = f (x1 ).f (x2 )(∗)"
Hiển nhiên là trong các định nghĩa lý thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhóm
được ký hiệu theo lối nhân, tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thì phép toán có thể được kí
hiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng. Bởi vậy, khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển
đổi kí hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng ánh xạ: exp : (R, +) → (R∗ , ·) mà với mỗi x ∈ R thì exp(x) = ex là
một đồng cấu.
Rõ ràng dấu phép toán trong nhóm (R, +) là phép cộng, còn dấu trong nhóm (R, ·) là phép nhân.
Vì vậy, biểu thức đồng cấu lúc đó phải là:
∀x1 , x2 ∈ R : exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ).exp(x2 )
và việc kiểm tra tính đúng đắn của hệ thức này là không mấy khó khăn nhờ tính chất của hàm số
mũ, xin nhường cho độc giả.
Ví dụ 2. Cho X, G1 , G2 là các nhóm, G = G1 × G2 là nhóm tích. Cho f : X → G1 , g : X → G2
là các ánh xạ.
Ta xác định ánh xạ h : X → G = G1 × G2 mà mỗi x ∈ X : h(x) = (f (x), g(x))
Chứng minh rằng h là đồng cấu khi và chỉ khi f và g là các đồng cấu.

Giải:
1

Ta có:h là đồng cấu khi và chỉ khi:
∀x1 , x2 ∈ X : h(x1 .x2 ) = h(x1 ).h(x2 )
⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ), g(x1 ))(f (x1 ), g(x2 ))
⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ).f (x2 )), (g(x1 ).g(x2 ))
⇔

f (x1 .x2 ) = f (x1 )f (x2 )
g(x1 .x2 ) = g(x1 )g(x2 )

⇔ f và g là các đồng cấu

Ví dụ 3. Cho X, Y là các nhóm cyclic có các phần tử sinh lần lượt là x, y và có cấp m, n tương
ứng, tức là:
X =< x >m , Y =< y >n
a/ Chứng minh rằng quy tắc ϕ cho tương ứng mỗi phần tử xl ∈ X với phần tử (y k )l (trong đó
k là số tự nhiên cho trước) là một đồng cấu khi và chỉ khi km là bội của n.
b/ Khi ϕ là đồng cấu, hãy tính Kerϕ.
**Phân tích ban đầu: Có thể nhận thấy rằng nếu quy tắc ϕ là ánh xạ, thì hiển nhiên ϕ thỏa các
.

yêu cầu về đồng cấu. Vì vậy thực chất của bài toán là: ϕ là ánh xạ ⇔ km .. n. Vì rằng mỗi phần tử
của một nhóm cyclic hữu hạn có thể được biểu diễn dưới các lũy thừa khác nhau. Do vậy, để chứng
minh ϕ ánh xạ ta cần chỉ ra ϕ không phụ thuộc vào các dạng biểu diễn khác nhau của một phần tử.

Giải:
a/

• ...
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS Trần Huyên
Ngày 10 tháng 12 năm 2004
Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến
Đồng Cấu
Để xử các bài tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu và các kết quả
bản liên quan tới đồng cấu
Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu:
"Cho X, Y các nhóm. Ánh xạ f : X Y được gọi đồng cấu nhóm nếu với mọi x
1
, x
2
X
thì f (x
1
.x
2
) = f(x
1
).f(x
2
)()"
Hiển nhiên trong các định nghĩa thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhóm
được hiệu theo lối nhân, tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thì phép toán thể được
hiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng. Bởi vy, khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển
đổi hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế.
dụ 1. Chứng minh rằng ánh xạ : exp : (R, +) (R
, ·) với mỗi x R thì exp(x) = e
x
một đồ ng cấu.
ràng dấu phép toán trong nhóm (R, +) phép cộng, còn dấu trong nhóm (R, ·) phép nhân.
vậy, biểu thức đồng cấu lúc đó phải là:
x
1
, x
2
R : exp(x
1
+ x
2
) = exp(x
1
).exp(x
2
)
và việc kiểm tra tính đúng đắn của hệ thức y không mấy khó khăn nhờ tính chất của hàm số
mũ, xin nhường cho độc giả.
dụ 2. Cho X, G
1
, G
2
các nhóm, G = G
1
× G
2
nhóm tích. Cho f : X G
1
, g : X G
2
các ánh xạ.
Ta xác định ánh xạ h : X G = G
1
× G
2
mỗi x X : h(x) = (f(x), g(x))
Chứng minh rằng h đồng cấu khi và chỉ khi f và g các đồng cấu.
Giải:
1
Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu - Trang 2
Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu - Người đăng: mau-don-van-ban
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
5 Vietnamese
Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu 9 10 397