Ktl-icon-tai-lieu

bài tập giải tích hàm

Được đăng lên bởi thuyvantk2610
Số trang: 18 trang   |   Lượt xem: 3657 lần   |   Lượt tải: 2 lần
BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM
1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập mở
nếu và chỉ nếu mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A.
Giải
• Giả sử mọi x trong A, có rx > 0 sao cho B(x, rx ) ⊂ A. Ta chứng minh
A=

B(x, rx ).
x∈A

Cho z trong A, ta có z ∈ B(z, rz ). Vậy
A⊂

B(x, rx ).
x∈A

Ch z trong

x∈A B(x, rx ),

Có x ∈ A sao cho z ∈ B(x, rx ). Vì B(x, rx ) ⊂ A, ta có z ∈ A.

• Giả sử A là tập mở, ta chứng minh với mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A.
Có một họ quả cầu mở {B(ai , ri )}i∈I trong E sao cho
A=

B(ai , ri ).
i∈I

Cho x trong E, có i trong I sao cho x ∈ B(ai , ri ). Đặt r = ri − ||x − ai ||, ta có
B(x, r) ⊂ B(ai , ri ) ⊂

B(ai , ri ) ⊂ A.
i∈I

1.1.4 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng
nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A.
Giải
Giả sử A là một tập đóng. Cho dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Ta
dùng phản chứng: giả sử x ∈ E \ A. Ta có E \ A là một tập mở, nên có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ E \ A,
hay
y ∈E\A

∀ y ∈ E, ||y − x|| < r.

(1)

Mặt khác với ε = r, ta tìm được một số nguyên N sao cho
||xn − x|| < ε

∀ n ≥ N.
1

(2)

Từ đó ta có xN ∈ A ∩ (E \ A) : mâu thuẩn. Vậy x ∈ A. Nay giả sử mọi dãy {xn } trong A hội tụ về
x trong E thì x ∈ A. Ta chứng minh A đóng, hay E \ A là một tập mở. Ta dùng phản chứng: E \ A
không là một tập mở. Lúc đó có một x trong E \ A, và với mọi số thực dương r có một yr sao cho
||yr − x|| < r và yr ∈ A.
Đặt xn = y1/n . Ta thấy {xn } trong A hội tụ về x trong E nhưng x ∈ E \ A: vô lý.
1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập
đóng nếu và chỉ nếu A = A.
Giải
Giả sử A là một tập đóng. Ta chứng minh A = A.
• Chứng minh A ⊂ A:
Cho x trong A, ta chứng minh x ∈ A, hay B(x, r) ∩ A = ∅. Vì x ∈ B(x, r) ∩ A, ta có kết quả
• Chứng minh A ⊂ A:
Cho x trong A, chứng minh x trong A. Với mọi r > 0 có yr ∈ A ∩ B(x, r). Đặt xn = y1/n với mọi
số nguyên n. Ta có
||xn − x|| <

1
n

∀ n ∈ IN .

Từ đó {xn } hội tụ về x. áp dụng bài 1.1.4, ta thấy x ở trong A.
Giả sử A = A . Ta chứng minh A là một tập đóng.
Ta dùng bài 1.1.4. Cho dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Với giả thiết
A = A, ta chỉ cần chứng minh x ∈ A. Ta có : với mọi ε = r > 0 có một số nguyên N sao cho
||xn − x|| < ε

∀ n ≥ N.

Vậy B(x, r) ∩ A = ∅ với mọi r > 0 : x ∈ A
1.3.1 Cho a và b là hai vectơ trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng...
BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM
1.1.2 Cho A một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A một tập mở
nếu và chỉ nếu mọ i x trong A, r > 0 sao cho B (x, r) A.
Giải
Giả sử mọi x trong A, r
x
> 0 sao cho B(x, r
x
) A. Ta chứng minh
A =
xA
B(x, r
x
).
Cho z trong A, ta có z B(z, r
z
). Vy
A
xA
B(x, r
x
).
Ch z trong
xA
B(x, r
x
), x A sao cho z B(x, r
x
). B(x, r
x
) A, ta z A.
Giả sử A tập mở , ta chứng minh với mọi x trong A, r > 0 sao cho B(x, r) A.
một họ quả cầu mở {B(a
i
, r
i
)}
iI
trong E sao cho
A =
iI
B(a
i
, r
i
).
Cho x trong E, i trong I sao cho x B(a
i
, r
i
). Đặt r = r
i
||x a
i
||, ta
B(x, r) B(a
i
, r
i
)
iI
B(a
i
, r
i
) A.
1.1.4 Cho A mt tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A một tập đóng
nếu và chỉ nếu mọ i dãy {x
n
} trong A hội tụ về x trong E thì x A.
Giải
Giả sử A một tập đóng. Cho dãy {x
n
} trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x A. Ta
dùng phản chứng: giả sử x E \ A. Ta E \ A một tập mở, nên r > 0 sao cho B(x, r) E \ A,
hay
y E \ A y E, ||y x|| < r. (1)
Mặt khác với ε = r, ta tìm được một s nguyên N sao cho
||x
n
x|| < ε n N. (2)
1
bài tập giải tích hàm - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
bài tập giải tích hàm - Người đăng: thuyvantk2610
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
18 Vietnamese
bài tập giải tích hàm 9 10 421