Ktl-icon-tai-lieu

Bất đẳng thức min max

Được đăng lên bởi phuong061999
Số trang: 10 trang   |   Lượt xem: 790 lần   |   Lượt tải: 0 lần
THAM LUẬN:
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH
Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, nó thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh CĐ - ĐH. Đã có rất nhiều tác giả,
nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt
chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng thức và bài toán
GTLN & GTNN của một số biểu thức đại số đã được ra thi hoặc tương tự với các dạng trong
đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua .
I. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 2 số :
a+b
 ab ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
 a, b  0 :
2
1
1
1
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : + + = 4 .
a
b
c
1
1
1
+
+
 1
Chứng minh rằng :
2a + b + c
a + 2b + c
a + b + 2c
1
x+y
1
1 1
1


 
+ 
 Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)2 
x+y
4xy
x+y
4 x
y
Dấu (=) xảy ra  a = b
 Áp dụng kết quả trên, ta có :
1
1 1
1 
1 1
1  1
1 1  1   1 1
 
+
+ 
+  = 
+
+ 
  
2a + b + c
4  2a
b + c
4  2a  4 b  c   8 a
2b  2c
(1)
1
1 1
1
1
 
+ +  (2)
Tương tự :
a + 2b + c
8  2a
b
2c
1
1 1
1
1
 
+
+  (3)
a + b + 2c
8  2a
2b
c
1
1
1
1 1
1
1
+
+

+ +  =1
 Từ (1), (2) và (3) suy ra :

2a + b + c
a + 2b + c
a + b + 2c
4 a
b
c
 a=b=c
3

 a=b=c=
Dấu (=) xảy ra   1
1
1
4
 a + b + c = 1
1
4
9
+
+ = 1 . Tìm GTNN của biểu thức :
x
y
z
P=x+y+z.
 1
4
9
+
+ 
 Ta có :P = x + y + z = (x + y + z). 
y
z
 x
Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa :

 4x
4z
y
z  9y
 9x
+  +
+  +
+ 
x
x 
z
 z
 y
y
4x y
9x z
9y 4z
 14 + 2
. +2
. +2
.
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36
y x
z x
z y
= 14 + 

4
9
 1
 x=6
 x + y + z =1


 Dấu (=) xảy ra  
  y = 12
 4x = y , 9x = z , 9y = 4z
 z = 18

 y
x z
x
z
y
 Vậy : Pmin = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .
 Bài tập tương tự :
1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
4a
9b
16c
+
+
 26
b+c-a
c+a-b
a+b-c
2. Cho x, y, z > 0 và thỏa : xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
yz
zx
xy
P= 2
+ 2
+ 2
2
2
x y+x z
y z+y x
z x + z2y
 Hướng dẫn :
y+z
z+x
x+y
,b=
,c=
1. Đặt : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0)  a =
2
2
2
Khi đó :

4(y + z)
9(z + x) 16(x + y)  4y
9x
 4z 16x  9z 16y
+
+
=
+  +
+
+ 
2(VT) =
 +
x
y
z
y
z 
y
 x
 x
z
Áp dụng bđt Cosi , . . .  (đpcm)
a2
b2
c2
2. Đặt : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1)  P =
+
+
b+c
c+a a+b
2
2
a
b...
THAM LUẬN:
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH
Bất đẳng thức một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh - ĐH. Đã rất nhiều tác giả,
nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt
chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng thức bài toán
GTLN & GTNN của một số biểu thức đại số đã được ra thi hoặc tương tự với các dạng trong
đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua .
I. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 2 số :
a, b 0 :
a + b
ab
2
; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa :
1 1 1
+ + = 4
a b c
.
Chứng minh rằng :
1 1 1
+ + 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)
2
1 x + y 1 1 1 1
+
x + y 4xy x + y 4 x y
Dấu (=) xảy ra a = b
Áp dụng kết quả trên, ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + = + +
2a + b + c 4 2a b + c 4 2a 4 b c 8 a 2b 2c
(1)
Tương tự :
1 1 1 1 1
+ +
a + 2b + c 8 2a b 2c
(2)
1 1 1 1 1
+ +
a + b + 2c 8 2a 2b c
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra :
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + = 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
Dấu (=) xảy ra
Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa :
1 4 9
+ + = 1
x y z
. Tìm GTNN của biểu thức :
P = x + y + z .
Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).
1 4 9
+ +
x y z
=
4x y 9x z 9y 4z
14 + + + + + +
y x z x z y
4x y 9x z 9y 4z
14 + 2 . + 2 . + 2 .
y x z x z y
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36
Bất đẳng thức min max - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Bất đẳng thức min max - Người đăng: phuong061999
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
10 Vietnamese
Bất đẳng thức min max 9 10 184