Ktl-icon-tai-lieu

Tài liệu ôn thi casio phần đa thức

Được đăng lên bởi Nguyễn Hữu Khang
Số trang: 3 trang   |   Lượt xem: 446 lần   |   Lượt tải: 0 lần
3. Đa thức bất khả quy
3.1. Đa thức với hệ số nguyên
Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0
với ai là các số nguyên. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là
Z[x].
Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên.
(1) Nếu P(x) có nghiệm nguyên x = a thì phân tích được P(x) = (x-a)Q(x) với Q(x)
là đa thức với hệ số nguyên.
(2) Nếu a, b nguyên và a  b thì P(a) – P(b) chia hết cho a – b.
(3) Nếu x = p/q là một nghiệm của P(x) (với (p, q) = 1) thì p là ước của a0 và q là
ước của an. Đặc biệt nếu an =  1 thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên.
(4) Nếu x = m + n là nghiệm của P(x) với m, n nguyên, n không chính phương
thì x’ = m - n cũng là nghiệm của P(x).
(5) Nếu x = m + n với m, n nguyên, n không chính phương thì P(x) = M’ +
N’ n với M’, N’ nguyên.
Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều
ngược lại không đúng, có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
nhưng các hệ số của nó không nguyên.
Ví dụ. Các đa thức (x2-x)/2, (x3-x)/6 nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là
đa thức nguyên.
Một đa thức với hệ số hữu tỷ P(x) bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng
a
Q(x) với a, b là các số nguyên và Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.
b

3.2. Đa thức bất khả quy
Định nghĩa. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi P(x) là bất khả quy trên
Z[x] nếu P(x) không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc Z[x] với bậc lớn
hơn hay bằng 1.
Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên Q[x].
Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

Cho P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+a1x + a0. Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho
i)
an không chia hết cho p
ii)
a0, a1, …, an-1 chia hết cho p
iii)
a0 không chia hết cho p2
thì đa thức P(x) bất khả quy.
Định lý 3.2 (Quan hệ bất khả quy trên Z[x] và Q[x])
Nếu đa thức P(x)  Z[x] bất khả quy trên Z[x] thì cũng bất khả quy trên Q[x].
Bổ đề Gauss. Ta gọi đa thức P  Z[x] là nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên
tố cùng nhau. Ta có bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là nguyên bản.
Chứng minh bổ đề. Cho hai đa thức nguyên bản
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
Q(x) = bmxm + bm-1xm-1 + …+ b1x + b0
thì
P(x).Q(x) = cm+nxm+n + cm+n-1xm+n-1 + …+c1x + c0
Giả sử tích trên không nguyên bản thì tồn tại một số nguyên tố p là ước chung của
các hệ số c0, c1, …, cm+n. Vì P nguyên bản nên gọi i là số nhỏ nhất mà ai không
chia hết cho p và j là số nhỏ nhất sao cho bj không chi...
3. Đa thức bất khả quy
3.1. Đa thức với hệ số nguyên
Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ …+ a
1
x + a
0
với ai là các số nguyên. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là
Z[x].
Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên.
(1) Nếu P(x) có nghiệm nguyên x = a thì phân tích được P(x) = (x-a)Q(x) với Q(x)
là đa thức với hệ số nguyên.
(2) Nếu a, b nguyên và a b thì P(a) P(b) chia hết cho a – b.
(3) Nếu x = p/q một nghiệm của P(x) (với (p, q) = 1) thì p ước của a
0
q
ước của a
n
. Đặc biệt nếu a
n
= 1 thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên.
(4) Nếu x = m +
n
nghiệm của P(x) với m, n nguyên, n không chính phương
thì x’ = m -
n
cũng là nghiệm của P(x).
(5) Nếu x = m +
n
với m, n nguyên, n không chính phương thì P(x) = M+
N’
n
với M’, N’ nguyên.
Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều
ngược lại không đúng, những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
nhưng các hệ số của nó không nguyên.
Ví dụ. Các đa thức (x
2
-x)/2, (x
3
-x)/6 nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi
đa thức nguyên.
Một đa thức với hệ số hữu tỷ P(x) bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng
)(xQ
b
a
với a, b là các số nguyên và Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.
3.2. Đa thức bất khả quy
Định nghĩa. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi P(x) là bất khả quy trên
Z[x] nếu P(x) không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc Z[x] với bậc lớn
hơn hay bằng 1.
Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên Q[x].
Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein)
Tài liệu ôn thi casio phần đa thức - Trang 2
Tài liệu ôn thi casio phần đa thức - Người đăng: Nguyễn Hữu Khang
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
3 Vietnamese
Tài liệu ôn thi casio phần đa thức 9 10 562