Ktl-icon-tai-lieu

Bất đẳng thức

Được đăng lên bởi le-nhat-thanh
Số trang: 61 trang   |   Lượt xem: 4099 lần   |   Lượt tải: 0 lần
Chương 4

ua

n

Bất đẳng thức dạng thuần
nhất bậc

pv

th

Tính thuần nhất bậc (đồng bậc, thuần nhất) là một tiêu chuẩn đầu tiên phải
tính đến khi so sánh các đại lượng. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như
bất đẳng thức giữa trung các đại lượng trung bình, Cauchy, Holder,
Minkowski,
¨
Chebychev, . . . , đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc. 1
Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới các phương pháp cơ bản để chứng
minh bất đẳng thức đồng bậc, cũng như cách chuyển từ một bất đẳng thức
không đồng bậc về một bất đẳng thức đồng bậc. Nắm vững và vận dụng nhuần
nhuyễn các phương pháp này, chúng ta có thể chứng minh được nhiều lớp bất
đẳng thức sơ cấp.

4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc

Hàm số f ( x1 , x2 , . . . , xn ) của các biến số thực x1 , x2 , . . . , xn được là hàm thuần
nhất bậc m nếu với mọi số thực t ta có
f (tx 1 , tx 2 , . . . , tx n ) = tm f ( x1 , x2 , . . . , xn ),

với t ∈ R − {0}, và xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, m, n ∈ N, m = 0, n ≥ 2. Số tự nhiên m
được gọi là bậc của đa thức đồng bậc.
Bất đẳng thức dạng f ( x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0, với f là một hàm thuần nhất được
gọi là bất đẳng thức thuần nhất (bậc m). Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc liên
quan chặt chẽ với đa thức đồng bậc. Thí dụ, hai đa thức sau là hai đa thức đồng
1 Đây là một chương trong cuốn sách Bất đẳng thức, Suy luận & Khám phá đã xuất bản của tác giả
Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ.

119

120

4.2. Đồng bậc hoá bất đẳng thức

bậc đồng bậc
g( x) = x5 + y5 + 8x2 y3 ,

f ( x) = x2 y + 4yx2 − 3x3 + 10y3 .

Từng đơn thức trong đa thức thứ nhất có bậc là năm, còn mỗi đơn thức trong
đa thức thứ hai có bậc là ba. Cũng cần chú ý rằng đa thức kiểu như f ( x) =
( x + 2y)3 + 101x2 không phải là đồng bậc.

4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức

n

Với những bất đẳng thức có điều kiện, ta có thể chuyển về dạng bất đẳng
thức đồng bậc. Điều kiện cho trước thường là một hệ thức liên hệ giữa các biến
số. Từ giả thiết đã cho ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng
đồng bậc.

ua

Bài toán 4.1. Cho các số thực không âm a, b thoả mãn điều kiện a + b = 2, chứng
minh dãy bất đẳng thức
2 ≤ a 2 + b2 ≤ a 3 + b3 ≤ a 4 + b4 .

pv

th

Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh từng bất đẳng thức. Mỗi vế bất đẳng thức
hơn kém nhau một bậc; mà ta cũng thấy rằng biểu thức ở điều kiện cho trước có
dạng bậc nhất. Sử dụng giả thiết này ta làm cân bằng bậc của các bất đẳng thức.
Trước hết ta chứng minh 2 ≤ a2 + b2 . Thật vậy, nhân hai vế với hai, và viết
nó dưới dạng tương đương ( a + b)2 ≤ 2( a2 + b2 ). Dễ dà...
Chương 4
Bất đẳng thức dạng thuần
nhất bậc
Tính thuần nhất bậc (đồng bậc, thuần nhất) một tiêu chuẩn đầu tiên phải
tính đến khi so sánh các đại lượng. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như
bất đẳng thức giữa trung các đạ i lượng trung bình, Cauchy, H
¨
older, Minkowski,
Chebychev, . . . , đều các bất đẳng thức dng đồng bậc.
1
Trong chương y, chúng ta sẽ đề cập tới các phương pháp bản để chứng
minh bất đẳng thức đồng bậc, cũng như cách chuyển từ một bất đẳng thức
không đồng bậc v một bất đẳng thức đồng bậc. Nắm vững và vận dụng nhuần
nhuyễn c phương pháp này, chúng ta thể chứng minh được nhiều lớp bất
đẳng thức cấp.
4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc
Hàm số f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) của các b iế n số thực x
1
, x
2
, . . . , x
n
được hàm thuần
nhất bậc m nếu với mọi số thực t ta
f (tx
1
, tx
2
, . . . , tx
n
) = t
m
f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
),
với t R {0}, x
i
R, i = 1, 2, . . . , n, m, n N, m = 0, n 2. Số tự nhiên m
được gọi bậc của đa thức đồng bậc.
Bất đng thức dạng f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) 0, với f một hàm thuần nhất được
gọi bất đẳng thức thuần nhất (bậc m). Khái niệm bất đẳng thức đồng bậ c liên
quan chặt chẽ với đa thức đồng bậc. Thí dụ, hai đa thức sau hai đa thức đồng
1
Đây là một chương trong cuốn sách Bất đẳng thức, Suy luận & Khám p đã xuất bản của tác giả
Phạm Văn Thuận, Vĩ.
119
pvthuan
Bất đẳng thức - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Bất đẳng thức - Người đăng: le-nhat-thanh
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
61 Vietnamese
Bất đẳng thức 9 10 421