Ktl-icon-tai-lieu

đại số cơ sở

Được đăng lên bởi Nguyên Nguyễn
Số trang: 4 trang   |   Lượt xem: 196 lần   |   Lượt tải: 0 lần
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa

TS. Trần Huyên
Ngày 27 tháng 3 năm 2005

Bài 9. Các Bài Toán Về Miền Nguyên
Và Trường
Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số
nguyên Z. Nó bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z, được đặt trên các phép toán trong
Z. Cụ thể là :
Định nghĩa 1 : Miền nguyên là vành X giao hoán, có đơn vị 1 = 0 (và do vậy |X| > 1) và
tích của hai phần tử khác 0 là khác 0.
Về điều kiện sau cùng của vành X "tích của hai phần tử khác 0 là khác 0" cũng thường được
phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương là : Vành X "không có ước của 0". Khái niệm
ước của 0 được xác định như sau :
Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, phần tử a = 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b = 0 sao cho ab = 0.
Như vậy : Miền nguyên là một vành giao hoán X, có đơn vị 1 = 0 và không có ước của 0.
Do điều kiện "không có ước của 0" có thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau, vì vậy
khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói ở trên còn có thể xác định theo những
cách khác.
Ví dụ 1 :
Cho vành X giao hoán có đơn vị 1 = 0. Chứng minh rằng X là miền nguyên ⇔ trong X có luật
giản ước cho các phần tử a = 0 đối với phép nhân.
Giải
Cho X là miền nguyên. Khi đó với mỗi a = 0, từ đẳng thức ax = ay ta suy ra :
ax − ay = 0 ⇒ a(x − y) = 0
⇒ x − y = 0 (vì a = 0)
⇒x=y
tức có luật giản ước cho mỗi phần tử a = 0 (nếu x − y = 0 thì a là ước của 0 !).
Ngược lại, nếu X là vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 và có luật giản ước cho mỗi phần tử x = 0.
1

Khi đó nếu ab = 0 thì hoặc a = 0, hoặc a = 0; nếu a = 0 thì từ ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, sau
khi giản ước a. Vậy X không có ước của 0, tức X là miền nguyên.
Chú ý : Luật giản ước cho mỗi a = 0 trong miền nguyên là một tính chất quan trọng của
miền nguyên và thường hay được sử dụng trong khá nhiều bài toán liên quan tới miền nguyên,
chẳng hạn ở ví dụ 2 dưới đây.
Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo, ta cần nhắc lại một khái niệm quan trọng khác, là khái niệm
trường.
Định nghĩa 3: Trường là vành X giao hoán có đơn vị 1 = 0 và phần tử bất kỳ x = 0 đều có
nghịch đảo x−1 (tức xx−1 = 1).
Hiển nhiên rằng trường là một miền nguyên và do đó tập các phần tử khác 0 của trường X (ta
kí hiệu là X ∗ ) là ổn định đối với phép nhân, đồng thời lập thành nhóm giao hoán. Vì vậy ta
có thể định nghĩa trường, kế thừa các tri thức về nhóm như sau : Trường là một tập hợp X có
nhiều hơn một phần tử, trên đó xác định được hai phép toán cộng (+) và nhân (.), thỏa :
1...
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS. Trần Huyên
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
Bài 9. Các Bài Toán V Miền Nguyên
Và Trường
Khái niệm miền nguyên được xem như sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số
nguyên Z. bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z, được đặt trên các phép toán trong
Z. Cụ thể :
Định nghĩa 1 : Miền nguyên vành X giao hoán, đơn vị 1 = 0 (và do vậy |X| > 1) và
tích của hai phần tử khác 0 khác 0.
V điều kiện sau cùng của vành X "tích của hai phần tử khác 0 khác 0" cũng thường được
phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương : Vành X "không ước của 0" . Khái niệm
ước của 0 được xác định như sau :
Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, phần tử a = 0 được gọi ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b = 0 sao cho ab = 0.
Như vậy : Miền nguyên một vành giao hoán X, đơn vị 1 = 0 và không ước của 0.
Do điều kiện "không ước của 0" thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau, vy
khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói trên còn thể xác định theo những
cách khác.
dụ 1 :
Cho vành X giao hoán đơn vị 1 = 0. Chứng minh rằng X miền nguyên trong X luật
giản ước cho các phần tử a = 0 đối với phép nhân.
Giải
Cho X miền nguyên. Khi đó với mỗi a = 0, từ đẳng thức ax = ay ta suy ra :
ax ay = 0 a(x y) = 0
x y = 0 (vì a = 0)
x = y
tức luật giản ước cho mỗi phần tử a = 0 (nếu x y = 0 thì a ướ c của 0 !).
Ngược lại, nếu X vành giao hoán đơn vị 1 = 0 và luật giản ước cho mỗi phần tử x = 0.
1
đại số cơ sở - Trang 2
đại số cơ sở - Người đăng: Nguyên Nguyễn
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
4 Vietnamese
đại số cơ sở 9 10 295