Ktl-icon-tai-lieu

Khai triển Abel

Được đăng lên bởi nguyenvantoanc3ct
Số trang: 13 trang   |   Lượt xem: 1038 lần   |   Lượt tải: 0 lần
diendantoanhoc.net [VMF]
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NHÓM ABEL1
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Đỗ Trọng Đạt - Vũ Thanh Tú - Vũ Đình Việt - Trần Trung Kiên

I. Lời nói đầu
Trong quá trình làm toán, chúng ta đã từng tiếp cận với rất nhiều các đẳng thức. Tuy nhiên, khi
đứng trước mỗi một đẳng thức đó có bao giờ bạn tự hỏi liệu nó còn có ứng dụng gì không, liệu có
thể áp dụng nó vào chứng minh bất đẳng thức? Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu với các
bạn công thức khai triển Abel.
Cho x1 , x2 , ...., xn và y1 , y2 , ..., yn là các số thực tùy ý.Đặt ck = y1 +y2 +...+yk ∀k ∈ R, 1 ≤ k ≤ n.Khi
đó:
x1 y1 + x2 y2 + .... + xn yn = (x1 − x2 )c1 + (x2 − x3 )c2 + ... + (xn−1 − xn )cn−1 + xn cn
Cách phát biểu và chứng minh hết sức đơn giản. Tuy nhiên, đằng sau vẻ bề ngoài đơn giản đó là
một phương pháp khá hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức.Đặc biệt là các bài toán có điều
kiện nhiều và phức tạp.

II. Bài toán mở đầu
Cho các số thực dương a, b, c thỏa a ≥ b ≥ 1, a ≤ 3, ab ≤ 6, ab ≤ 6c.Chứng minh rằng:
a+b−c≤4
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng:
a+b+1≤3+2+c
Ta có đẳng thức sau:
3
3 + 2 + c = (a − b). +
a

3 2
+
a b

(b − 1) +

3 2
+ +c
a b

Nhưng mặt khác theo giả thiết và bất đẳng thức AM-GM ta có:
3
3 2
(a−b). +
+
a
a b

(b−1)+

3 2
+ +c
a b

3
≥ (a−b) +2(b−1)
a

6
3 6c
+3
≥ a−b+2(b−1)+3 = a+b+1
ab
ab

Vậy
3+2+c≥a+b+1
Và ta có điều phải chứng minh.
Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán “ đơn giản” này bạn có phần lúng túng và không
hiểu tại sao lại có thể tách được một cách "hợp lý" như vậy. Phải chăng là dự đoán một cách “vô
1

Niels Henrik Abel (1802-1829) là một nhà toán học người Na Uy.

1

diendantoanhoc.net [VMF]
hướng” hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu
trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo 1 qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng
tôi sẽ phân tích rõ hơn giúp bạn đọc có thể khái quát một phần nào đó về phương pháp này.
• Khai triển Abel tổng quát: Cho x1 , x2 , ...., xn và y1 , y2 , ..., yn là các số thực tùy ý.
Đặt ck = y1 + y2 + ... + yk ∀k ∈ R, 1 ≤ k ≤ n. Khi đó:
x1 y1 + x2 y2 + .... + xn yn = (x1 − x2 )c1 + (x2 − x3 )c2 + ... + (xn−1 − xn )cn−1 + xn cn
Và 2 đẳng thức thường dùng là:
a1 b1 + a2 b2 = (a1 − a2 )b1 + a2 (b1 + b2 )
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = (a1 − a2 )b1 + (a2 − a3 )(b1 + b2 ) + a3 (b1 + b2 + b3 )
• Chúng ta sẽ cùng nhau đến với 1 số ví dụ điển hình:

III. Các bài toán
Ví dụ 1.
Cho 0 < β ≤ y ≤ x, α > 0 và xy ≥ α.β. Chứng minh:
1 1
1
1
+ ≤ ...
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NHÓM ABEL
1
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Đỗ Trọng Đạt - Vũ Thanh Tú - Vũ Đình Việt - Trần Trung Kiên
I. Lời nói đầu
Trong quá trình làm toán, chúng ta đã từng tiếp cận với rất nhiều các đẳng thức. Tuy nhiên, khi
đứng trước mỗi một đẳng thức đó bao giờ bạn tự hỏi liệu còn ứng dụng không, liệu
thể áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức? Trong bài viết y, chúng tôi xin giới thiệu với các
bạn công thức khai triển Abel.
Cho x
1
, x
2
, ...., x
n
và y
1
, y
2
, ..., y
n
các số thực tùy ý.Đặt c
k
= y
1
+y
2
+...+y
k
k R, 1 k n.Khi
đó:
x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ .... + x
n
y
n
= (x
1
x
2
)c
1
+ (x
2
x
3
)c
2
+ ... + (x
n1
x
n
)c
n1
+ x
n
c
n
Cách phát biểu và chứng minh hết sức đơn giản. Tuy nhiên, đằng sau vẻ b ngoài đơn giản đó
một phương pháp khá hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức.Đặc biệt các bài toán điều
kiện nhiều và phức tạp.
II. Bài toán mở đầu
Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b 1, a 3, ab 6, ab 6c.Chứng minh rằng:
a + b c 4
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng:
a + b + 1 3 + 2 + c
Ta đẳng thức sau:
3 + 2 + c = (a b).
3
a
+
3
a
+
2
b
(b 1) +
3
a
+
2
b
+ c
Nhưng mặt khác theo giả thiết và bất đẳng thức AM-GM ta có:
(ab).
3
a
+
3
a
+
2
b
(b1)+
3
a
+
2
b
+ c
(ab)
3
a
+2(b1)
6
ab
+3
3
6c
ab
ab+2(b1)+3 = a+b+1
Vy
3 + 2 + c a + b + 1
Và ta điều phải chứng minh.
Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán đơn giản” y bạn phần lúng túng và không
hiểu tại sao lại thể tách được một cách "hợp lý" như vy. Phải chăng dự đoán một cách “vô
1
Niels Henrik Abel (1802-1829) một nhà toán học người Na Uy.
1
diendantoanhoc.net [VMF]
Khai triển Abel - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
Khai triển Abel - Người đăng: nguyenvantoanc3ct
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
13 Vietnamese
Khai triển Abel 9 10 777