Ktl-icon-tai-lieu

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Được đăng lên bởi Thân Việt Dũng
Số trang: 44 trang   |   Lượt xem: 2475 lần   |   Lượt tải: 4 lần
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

BÀI TOÁN CAUCHY
Tìm nghiệm của phương trình

hoặc:

F(x, y, y’, y”) = 0

(1)

y” = f(x, y, y’)

(2)

thỏa điều kiện ban đầu :

y(x0) = y0
y’(x0) = y1

Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2
hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số
này.

Ví dụ
Tìm nghiệm bài toán:

y” = x2

(1)

y(0) = 1, y’(0) = -2

(2)

3

x
(3)
(1)  y ' 
 C1
3
4
x
y
 C1x  C2 (4)
12
(2), (3)  C1 = -2
(2), (4)  C2 = 1
Vậy nghiệm bài toán là:

4

x
y
 2x  1
12

MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC
LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0
Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, x
LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0
Cách làm: đặt p = y’  đưa về pt cấp 1 theo
hàm p và biến y
LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = tnF(x,y,y’,y”)
Cách làm: đặt y’ = yz  đưa về pt theo x, z

Ví dụ

1/ y"  2 y '
Pt trở thành:
Với p  0

Pt không chứa y, đặt y '  p

p'  2 p

( p '  p '( x ))

dp
 dx  p  x  C1
2 p
2
 y '  ( x  C1 )

1
3
 y  ( x  C1 )  C2
3
p = 0  y’ = 0  y = C

2

2

2 / (1  y ) yy "  ( y  1)( y ')

2

Pt không chứa x

Đặt y’ = p (xem y là biến)

dy ' dy ' dy dp
y" 

   p  p ' p, ( p'=p'(y))
dx dy dx dy
Pt trở thành:

2

2

(1  y ) yp ' p  ( y  1) p
2

2

 2y
dp
y 1
1


dy  
  dy
2
2
p y (1  y )
y
 1 y
2

 py  C1 (1  y )

2

 py  C1 (1  y )
2

 y ' y  C1 (1  y )
ydy

 C1dx
2
1 y
1
2
 ln(1  y )  C1x  C2
2

x2yy” – (y – xy’)2 = 0
x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 = t2[x2yy” – (y – xy’)2
Đặt y’ = yz  y” = y’z + yz’ = yz2 + yz’
Pt trở thành:
2

2

x y ( yz  yz ')  ( y  xyz)
2

2

 x ( z  z ')  (1  xz)
2

 x z ' 2 xz  1

2

2

(Tuyến tính )

2

x z ' 2 xz  1
1 C1
z  2
x x

y ' 1 C1
   2
y x x
 y  C2

C1

xe x

PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2
y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1)
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

p(x), q(x), f(x) liên tục

Phương trình thuần nhất

Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất:

y = y0 + yr

• y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất,
• yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất

Nguyên lý chồng chất nghiệm
Nếu y1 và y2 lần lượt là các nghiệm của pt
y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x)
y” + p(x)y’ + q(x)y = f2(x)
thì y1 + y2 là nghiệm của pt
y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x)

Giải phương trình thuần nhất
Nếu y1 và y2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần
nhất
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0
y0 = C1y1 + C2y2

nghiệm tổng quát của pt này là

Nếu biết trước 1 nghiệm y1  0, y2 được tìm như sau

y2  y1 

e

  p ( x ) dx
2
y1

dx

Ví dụ
Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có ...
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 - Trang 2
Để xem tài liệu đầy đủ. Xin vui lòng
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 - Người đăng: Thân Việt Dũng
5 Tài liệu rất hay! Được đăng lên bởi - 1 giờ trước Đúng là cái mình đang tìm. Rất hay và bổ ích. Cảm ơn bạn!
44 Vietnamese
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 9 10 467